Equzione complessa

[df2]

L'insieme $ E={ z in C : |z-9|=i }

a) è una retta
b) un cerchio
c) il punto i+9
d) insieme vuoto
e) nessuna delle risposte precedenti

la soluzione del libro è la d) , ma non concorda con la mia.

mia soluzione:

$z = a+ib

da cui:

$|a+ib-9|= i

che riscrivo come:

se $ a+ib-9 >= 0$ ovvero se b>=0
$a+ib-9 = i
da cui:
$a-9+i(b-1) =0
a=9
b=1
z= i+9

se $ a+ib-9 < 0$ ovvero se b<0
$a+ib-9 = -i
$a-9+i(b+1) = 0
$a=9
$b=-1$
$z= 9-i

la mia risposta in toeria non è presente fra le scelte, sbaglio io o è la soluzione?

grazie

[gugo82]

Sbagli.

Ricorda che il modulo di un numero complesso $z=a+b*i$ è $|z|=sqrt(a^2+b^2)$.

La tua interpretazione di $|z|=\{(z, " se " zge 0),(-z, " se " zle 0):}$ è del tutto errata perchè il campo dei numeri complessi non è ordinabile come $RR$.

[df2]

allora dovrei interpretarlo come:

$z = a +ib

da cui:

|z-9|= rad(a^2+b^2)-9

?

perchè il nove non so dove metterlo

grazie

[gugo82]

Dovresti metterlo vicino ad $a$: infatti hai $z-9=(a+b*i)-9=(a-9)+b*i$... Ma comunque l'approccio frontale non è quello migliore.

Una soluzione elegante è la seguente: $AA zeta in CC, |zeta| in RR$ ed anzi risulta $|zeta|ge 0$ (questa è una disuguaglianza tre numeri reali, perchè $CC$ "non" è ordinabile); ne consegue che per nessun numero complesso $zeta$ potrai mai verificare l'uguaglianza $|zeta|=i$. Pertanto l'insieme $E={z in CC:quad |z-9|=i}$ è vuoto, ossia $E=\emptyset$.

[df2]

"gugo82":Dovresti metterlo vicino ad $a$: infatti hai $z-9=(a+b*i)-9=(a-9)+b*i$... Ma comunque l'approccio frontale non è quello migliore.

Una soluzione elegante è la seguente: $AA zeta in CC, |zeta| in RR$ ed anzi risulta $|zeta|ge 0$ (questa è una disuguaglianza tre numeri reali, perchè $CC$ "non" è ordinabile); ne consegue che per nessun numero complesso $zeta$ potrai mai verificare l'uguaglianza $|zeta|=i$. Pertanto l'insieme $E={z in CC:quad |z-9|=i}$ è vuoto, ossia $E=\emptyset$.

proprio una bella soluzione la tua, non ci avevo pensato.

$(a-9)^2 + b^2 = i

che viene
parte reale:
$(a-9)^2 + b^2 = 0
parte complessa
$1=0
che è un assurdo quindi , insieme vuoto.

Grazie mille