Equivalenze e Fattoriali

[Flamber]

Buonasera a tutti,

Ho qualche problemino con questo esercizio:

Verificare che $((n+4)!-n!)/((n+2)!)$ è equivalente ad $n^2$ per $n->+infty$

Ho pensato di ragionare così:

$lim_(x->+infty)((n+4)!-n!)/(n^2*(n+2)!)$ e vedere se vale 1....

ma come si fa?

[Sk_Anonymous]

Io separerei in 2 frazioni, così i fattoriali si possono semplificare (num e den).
Ottengo $(n+4)(n+3) -1/((n+2)*(n+1))$.
Facendo calcoli al num si ottiene un polinomio di 4 grado e al den uno di 2 da cui la tesi.

[Noisemaker]

"Flamber":Buonasera a tutti,

Ho qualche problemino con questo esercizio:

Verificare che $((n+4)!-n!)/((n+2)!)$ è equivalente ad $n^2$ per $n->+infty$

Ho pensato di ragionare così:

$lim_(x->+infty)((n+4)!-n!)/(n^2*(n+2)!)$ e vedere se vale 1....

ma come si fa?

considera che in base alla definizione di fattoriale
\begin{align*}
n!=\begin{cases} 1, & \mbox{se }n=0 \\ n(n-1)! , & \mbox{se }n\ge1
\end{cases}
\end{align*}

hai che $(n+1)! = n!(n+1)$

e dunque

\begin{align*}
\frac{(n+4)!-n!}{(n+2)!}=\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n!-n!}{(n+2)(n+1)n!}= \frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)-1}{(n+2)(n+1) } \sim \frac{n^4}{n^2} =n^2
\end{align*}