Equivalenze di norme in spazi infinito dimensionali

[Nick_931]

Ciao a tutti. Avrei una domanda da porvi riguardo l'equivalenze di norme in spazi infinito dimensionali. In particolare perchè risulta che

$||x||_{\infty} \le ||x||_p$

?

[gugo82]

Scritta così, senza specificare lo spazio di riferimento, la domanda non ha molto senso...

[Nick_931]

Giusto!

Se $\underline{x} \in l_p \to ||x||_{\infty} \le ||x||_p$

In qualsiasi spazio finito dimensionale tutte le norme sono equivalenti esatto?

[Maci86]

Cosa vuol dire che due norme sono equivalenti?

[gugo82]

@ Nick_93: Per gli spazi \(\ell^p\) non c'è alcuna relazione d'equivalenza tra le norme che citi.
In verità, si prova facilmente che \(x\in \ell^p \ \Rightarrow\ x\in \ell^\infty\) e che \(\| x\|_\infty \leq \| x\|_p\); però non può valere alcuna disuguaglianza del tipo \(\| x\|_p\leq C\ \| x\|_\infty\) (con \(C\geq 0\) "universale")... Perché?

La cosa è diversa negli spazi finito-dimensionali, giacché, come giustamente dici, tutte le norme definite lì sopra sono (topologicamente) equivalenti.


@Maci86: Dire che due norme \(\| \cdot \|_1\) e \(\| \cdot \|_2\), definite su un medesimo spazio vettoriale \(X\), sono (topologicamente) equivalenti equivale a dire che esistono due costanti "universali" \(0< c\leq C\) tali che:
\[
c\ \| x\|_1\leq \| x\|_2 \leq C\ \| x\|_1
\]
per ogni \(x\in X\). In questo caso, le norme \(\| \cdot \|_1\) e \(\| \cdot \|_2\) inducono su \(X\) la stessa topologia (perché le palle indotte dalla prima sono innestate in quelle indotte dalla seconda e viceversa).

[Maci86]

Bene e allora cosa non ti convince della disuguaglianza? Prendi ad esempio $RR^2$ e guardati le palle di raggio 1 centrate nell'origine. La palla più grande è quella con la norma più piccola

Ma non dovevi rispondermi tu! Uffa, era per Nick! Gugo Gugo Gugo

[Rigel1]

"gugo82": ...esistono due costanti "universali" \(0\leq c\leq C\) tali che:
\[
c\ \| x\|_1\leq \| x\|_2 \leq C\ \| x\|_1
\]
per ogni \(x\in X\).

Gugo, mi stai invecchiando
\(0

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[gugo82]

@ Righello: Già, già...

[Nick_931]

Salve ragazzi, perdonatemi ma non sono riuscito a rispondervi negli ultimi giorni.

Quindi nel caso finito dimensionale, se prendo in considerazione le seguenti norme

\[
\|x\|_p=[\sum_{i=1}^{n}|x_i|^p]^{1/p}
\]
\[
\|x\|_{\infty}=max_{n} |x_i|^p]^{1/p}
\]
allora
\[
\|x\|_p\leq \|x\|_{\infty}\leq C\ \|x\|_p
\]

comunque è chiaro, in effetti più la palla è grande più la norma è piccola ne caso infinito dimensionale!