Equivalenze al limite varie
Nel tentativo di colmare lacune varie delle mie conoscenze di Analisi $epsilon$, in particolare quelle relative al numero $e$ come limite di $(1+1/n)^n$, mi sono imbattuto in una definizione di equivalenza per successioni che non è quella che conosco io, e della quale vorrei discutere con qualcuno che ne sa di più.
La storia è questa: vogliamo stimare asintoticamente $n!$.
Sul solito Lang, Undergraduate Analysis, trovo un esercizio che, dopo aver fatto dimostrare la $(1+1/k)^k
Secondo la "mia" definizione di equivalenza al limite ($a_n$ è equivalente a $b_n$ se $(a_n)/(b_n)\to1$), questa disuguaglianza non serve a granché. Il rapporto tra le successioni $n!$ e $(n^n)/(e^n)$ non è sufficientemente vincolato per concludere che converge ad 1.
Invece Lang fa introdurre una relazione di equivalenza meno schizzinosa della mia: $a_n~=b_n$ se $[(a_n)/(b_n)]^(1/n)\to1$ (ovviamente vogliamo che $a_n, b_n>0$). Con questa, magia delle magie, posto $a_n=n!, b_n=(n^n)/(e^n)$, tutto va a posto e abbiamo l'equivalenza.
Quello che non riesco a capire, è cosa significhi questa equivalenza. Se $a_n~=b_n$ in questo senso, intuitivamente cosa devo pensare? Che sono "quantitativamente simili"? Forse c'entra qualcosa il concetto di media geometrica?
La storia è questa: vogliamo stimare asintoticamente $n!$.
Sul solito Lang, Undergraduate Analysis, trovo un esercizio che, dopo aver fatto dimostrare la $(1+1/k)^k
Secondo la "mia" definizione di equivalenza al limite ($a_n$ è equivalente a $b_n$ se $(a_n)/(b_n)\to1$), questa disuguaglianza non serve a granché. Il rapporto tra le successioni $n!$ e $(n^n)/(e^n)$ non è sufficientemente vincolato per concludere che converge ad 1.
Invece Lang fa introdurre una relazione di equivalenza meno schizzinosa della mia: $a_n~=b_n$ se $[(a_n)/(b_n)]^(1/n)\to1$ (ovviamente vogliamo che $a_n, b_n>0$). Con questa, magia delle magie, posto $a_n=n!, b_n=(n^n)/(e^n)$, tutto va a posto e abbiamo l'equivalenza.
Quello che non riesco a capire, è cosa significhi questa equivalenza. Se $a_n~=b_n$ in questo senso, intuitivamente cosa devo pensare? Che sono "quantitativamente simili"? Forse c'entra qualcosa il concetto di media geometrica?
Risposte
Non ho mai visto l'equivalenza di cui parli e quindi non so bene come commentarla.
Vorrei pero' metterti in guardia, non sara' mai una definizione a dimostrarti magicamente un teorema -
puo' darsi che avendo dato un'opportuna definizione tu "veda" magicamente come operare la dimostrazione
o che ti "illumini" sul significato di cio' che hai fatto (io forse direi che "dia un significato" a cio' cha hai fatto).
Ricordo un seminario di un eminente analista (Haim Brezis) in cui egli se ne usci con il "principo" della
"conservation de l'enmerdement" (spero di aver trascritto correttamente il francese, a parte gli accenti).
Quindi per capire la definizione, secondo me, bisognerebbe vedere come e' utilizzata per la stima asintotica di cui parli.
Comunque balza agli occhi che l'equivalenza del Lang e' , come dici tu, "meno schizzinosa" della solita equivalenza asintotica -
in effetti tutte le potenze $n^k$ sono equivalenti in questo senso.
P.S. Ripensandoci mi viene in mente una "scala logaritmica" sull'asse $x$ (credo).
Vorrei pero' metterti in guardia, non sara' mai una definizione a dimostrarti magicamente un teorema -
puo' darsi che avendo dato un'opportuna definizione tu "veda" magicamente come operare la dimostrazione
o che ti "illumini" sul significato di cio' che hai fatto (io forse direi che "dia un significato" a cio' cha hai fatto).
Ricordo un seminario di un eminente analista (Haim Brezis) in cui egli se ne usci con il "principo" della
"conservation de l'enmerdement" (spero di aver trascritto correttamente il francese, a parte gli accenti).
Quindi per capire la definizione, secondo me, bisognerebbe vedere come e' utilizzata per la stima asintotica di cui parli.
Comunque balza agli occhi che l'equivalenza del Lang e' , come dici tu, "meno schizzinosa" della solita equivalenza asintotica -
in effetti tutte le potenze $n^k$ sono equivalenti in questo senso.
P.S. Ripensandoci mi viene in mente una "scala logaritmica" sull'asse $x$ (credo).
(@V.G.: Ricevere risposte come questa è uno dei motivi che mi spinge a frequentare questo forum. Grazie 
)
Ragionandoci su a mente fredda, posso concludere che qui non c'è niente di così strano.
Come giustamente mi fai notare, il fatto di aver modificato la definizione di "equivalenza" non significa che io abbia dimostrato l'equivalenza asintotica "solita" tra $n!$ e $(n^n)/(e^n)$, cosa che infatti non è vera (come leggo su http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Stirling . Ma la dimostrazione di questa formula sembra parecchio più complicata.).
Semplicemente ho dimostrato che queste due successioni sono equivalenti in un senso più debole: non è la stessa cosa, anche se è sufficiente per calcolare alcuni limiti. Per esempio possiamo usare questo fatto per calcolare il limite di $(n^n)/(n!)$.
Per dare una interpretazione di questa equivalenza, riscrivo: $a_n~=b_n$ se e solo se $a_n=b_n*u_n$ e $(u_n)^(1/n)\to1$. Quindi per questa $u_n$ vale il fatto che $log(u_n)/n\to0$ (@V.G. : è questo che intendevi quando parlavi di "scala logaritmica"?) e perciò $u_n$ potrebbe anche andare ad infinito o a 0, ma certamente non può farlo con andamento esponenziale.
Vale ancora la compatibilità col prodotto $a_n~=a'_n, b_n~=b'_n=>a_nb_n~=a'_nb'_n$ ma (come notava V.G.) tutte le potenze sono equivalenti, e addirittura sono equivalenti successioni infinite ed infinitesime, come $n$ e $1/n$ per le quali risulta $n~=1/n$.
)Ragionandoci su a mente fredda, posso concludere che qui non c'è niente di così strano.
Come giustamente mi fai notare, il fatto di aver modificato la definizione di "equivalenza" non significa che io abbia dimostrato l'equivalenza asintotica "solita" tra $n!$ e $(n^n)/(e^n)$, cosa che infatti non è vera (come leggo su http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Stirling . Ma la dimostrazione di questa formula sembra parecchio più complicata.).
Semplicemente ho dimostrato che queste due successioni sono equivalenti in un senso più debole: non è la stessa cosa, anche se è sufficiente per calcolare alcuni limiti. Per esempio possiamo usare questo fatto per calcolare il limite di $(n^n)/(n!)$.
Per dare una interpretazione di questa equivalenza, riscrivo: $a_n~=b_n$ se e solo se $a_n=b_n*u_n$ e $(u_n)^(1/n)\to1$. Quindi per questa $u_n$ vale il fatto che $log(u_n)/n\to0$ (@V.G. : è questo che intendevi quando parlavi di "scala logaritmica"?) e perciò $u_n$ potrebbe anche andare ad infinito o a 0, ma certamente non può farlo con andamento esponenziale.
Vale ancora la compatibilità col prodotto $a_n~=a'_n, b_n~=b'_n=>a_nb_n~=a'_nb'_n$ ma (come notava V.G.) tutte le potenze sono equivalenti, e addirittura sono equivalenti successioni infinite ed infinitesime, come $n$ e $1/n$ per le quali risulta $n~=1/n$.
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