Equivalenza tra metriche e proprietà delle funzioni
$f(x)=x-log(x^2+4)$ $g(x)=tgh f(x)$ $x inRR$
$d_1 (x,y)=|f(x)-f(y)|$ $d_2 (x,y)=|g(x)-g(y)|$
Sono abbastanza certo che $d_1$ e $d_2$ sono metriche su $RR$.
$(RR, d_1)$ ed $(RR, d_2)$ sono spazi metrici completi? Qualcuna delle due metriche è equivalente o equivalente secondo Lipschitz alla metrica euclidea?
Io ho proceduto così:
$f'$ è limitata, quindi $f$ è lipschitziana. Inoltre $min|f'|=1/2$. Questo mi permette di dire che la metrica $d_1$ è equivalente secondo Lipschitz alla metrica euclidea e quindi $(RR, d_1)$ è completo.
Potevo concludere sulla completezza anche semplicemente osservando che l'immagine $f(RR)=RR$ è un chiuso secondo la metrica euclidea.
Anche $g$ è lipschitziana, ma la sua derivata assume valori arbitrariamente vicini allo zero, quindi non posso dedurre l'equivalenza secondo Lipschitz. Inoltre $f(RR)=]-1,1 [ $ che è non chiuso secondo la metrica euclidea, quindi deduco che $(RR, d_2)$ non è completo.
Dalla lipschitzianità di $g$ deduco che un intorno euclideo di un punto è contenuto in un intorno secondo la metrica $d_2$.
Bastava la continuità, non necessariamente la lipschitzianità.
Come faccio a capire se vale o no anche il viceversa?
E' corretto? (I miei dubbi riguardano soprattutto gli ultimi due ragionamenti della seconda parte)
$d_1 (x,y)=|f(x)-f(y)|$ $d_2 (x,y)=|g(x)-g(y)|$
Sono abbastanza certo che $d_1$ e $d_2$ sono metriche su $RR$.
$(RR, d_1)$ ed $(RR, d_2)$ sono spazi metrici completi? Qualcuna delle due metriche è equivalente o equivalente secondo Lipschitz alla metrica euclidea?
Io ho proceduto così:
$f'$ è limitata, quindi $f$ è lipschitziana. Inoltre $min|f'|=1/2$. Questo mi permette di dire che la metrica $d_1$ è equivalente secondo Lipschitz alla metrica euclidea e quindi $(RR, d_1)$ è completo.
Potevo concludere sulla completezza anche semplicemente osservando che l'immagine $f(RR)=RR$ è un chiuso secondo la metrica euclidea.
Anche $g$ è lipschitziana, ma la sua derivata assume valori arbitrariamente vicini allo zero, quindi non posso dedurre l'equivalenza secondo Lipschitz. Inoltre $f(RR)=]-1,1 [ $ che è non chiuso secondo la metrica euclidea, quindi deduco che $(RR, d_2)$ non è completo.
Dalla lipschitzianità di $g$ deduco che un intorno euclideo di un punto è contenuto in un intorno secondo la metrica $d_2$.
Bastava la continuità, non necessariamente la lipschitzianità.
Come faccio a capire se vale o no anche il viceversa?
E' corretto? (I miei dubbi riguardano soprattutto gli ultimi due ragionamenti della seconda parte)
Risposte
Up
Non mi piace molto. Secondo me è meglio se ragioni direttamente, senza fare riferimento a oscuri teoremi. Prendi $f_1$. Tu vuoi mostrare che la corrispondente distanza $d_1(x, y)=|f(x)-f(y)|$ è equivalente alla distanza euclidea. Questo significa che esistono due costanti $C_1, C_2$ tali che
$C_1 |x-y| le |f_1(x)-f_1(y)| le C_2|x-y|$.
Vedi se riesci a verificare direttamente questa condizione. Per $C_2$ va bene il discorso che fai sulle derivate. E per $C_1$?
$C_1 |x-y| le |f_1(x)-f_1(y)| le C_2|x-y|$.
Vedi se riesci a verificare direttamente questa condizione. Per $C_2$ va bene il discorso che fai sulle derivate. E per $C_1$?
@ dissonance: Intanto grazie per il commento.
Questa è la definizione di equivalenza secondo Lipschitz, se è verificata le metriche sono equivalenti, ma se non è verificata, non è detto che le metriche non siano equivalenti.
Per la $d_1$ ho dimostrato l'equivalenza secondo Lipschitz ragionando sulle derivate, e ho riportato il risultato e il punto di partenza usato per ottenerlo.
Bene, allora a quanto pare è corretto, ho usato lo stesso metodo ai punti 1 e 2, solo che nel 2 non arrivo a concludere riguardo l'equivalenza.
Gli oscuri teoremi credo siano quelli riguardo la chiusura dell'immagine. Speravo fossero più noti. In realtà non sono certissimo che siano giusti, tanto che in un altro post, ancora senza risposta, chiedevo proprio di verificare la dimostrazione di questi teoremi:
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 73609.html
"dissonance":
Prendi $f_1$. Tu vuoi mostrare che la corrispondente distanza $d_1(x, y)=|f(x)-f(y)|$ è equivalente alla distanza euclidea. Questo significa che esistono due costanti $C_1, C_2$ tali che
$C_1 |x-y| le |f_1(x)-f_1(y)| le C_2|x-y|$.
Questa è la definizione di equivalenza secondo Lipschitz, se è verificata le metriche sono equivalenti, ma se non è verificata, non è detto che le metriche non siano equivalenti.
Per la $d_1$ ho dimostrato l'equivalenza secondo Lipschitz ragionando sulle derivate, e ho riportato il risultato e il punto di partenza usato per ottenerlo.
"dissonance":
Per $C_2$ va bene il discorso che fai sulle derivate. E per $C_1$?
Bene, allora a quanto pare è corretto, ho usato lo stesso metodo ai punti 1 e 2, solo che nel 2 non arrivo a concludere riguardo l'equivalenza.
"dissonance":
Non mi piace molto. Secondo me è meglio se ragioni direttamente, senza fare riferimento a oscuri teoremi.
Gli oscuri teoremi credo siano quelli riguardo la chiusura dell'immagine. Speravo fossero più noti. In realtà non sono certissimo che siano giusti, tanto che in un altro post, ancora senza risposta, chiedevo proprio di verificare la dimostrazione di questi teoremi:
https://www.matematicamente.it/forum/met ... 73609.html
Allora anche le definizioni a cui facciamo riferimento sono diverse. Per me sono "equivalenti" due metriche che per te sono "equivalenti secondo Lipschitz". Meglio chiarire questo punto allora, come prima cosa.
Le definizioni che uso io sono:
Siano $d_1$ e $d_2$ metriche su $S$. Si dicono equivalenti se $AAx_0inS$ si ha che ogni intorno di $x_0$ rispetto alla metrica $d_1$ contiene un intorno secondo la metrica $d_2$, e ogni intorno secondo la metrica $d_2$ contiene un intorno secondo la metrica $d_1$.
Sono equivalenti secondo Lipschitz se: $EEM_1,M_2>0: M_1d_2(x,y)<=d_1(x,y)<=M_2d_2(x,y), AAx,y inS$.
Siano $d_1$ e $d_2$ metriche su $S$. Si dicono equivalenti se $AAx_0inS$ si ha che ogni intorno di $x_0$ rispetto alla metrica $d_1$ contiene un intorno secondo la metrica $d_2$, e ogni intorno secondo la metrica $d_2$ contiene un intorno secondo la metrica $d_1$.
Sono equivalenti secondo Lipschitz se: $EEM_1,M_2>0: M_1d_2(x,y)<=d_1(x,y)<=M_2d_2(x,y), AAx,y inS$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo