Equivalenza tra Funzioni Logaritmiche

[Flamber]

Hi un esercizio che mi chiede di controllare se le funzioni:

$f(x)=ln(1-2^x)$ e $g(x)=ln(-x)$

sono equivalenti per $x->0$

Devo cioè controlare (possibilmente senza usare de l'hopital) che il limite del rapporto sia uguale ad 1, per x che tende a 0.
Ma non riesco a calcolare il limite.

$lim_(x->0)(ln(1-2^x))/ln(-x) = lim_(x->0)(ln(-xln2))/ln(-x) $

e ora???

[Noisemaker]

non ho capito il passaggio che hai fatto ... e poi perchè non usare De L'Hopital?

[Flamber]

Non posso usare de l'hopital perchè ancora non ci siamo arrivati con il programma, e quindi questi esercizi devono essere risolti senza usarlo.

Per quanto riguarda il passaggio invece:

$lim_(x->0) (2^x-1)/x=ln2$

Allora:

$2^x-1=xln2 + o(x)$

[Palliit]

Se vuoi fare riferimento soltanto ai limiti notevoli:

[tex]\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\ln(1-2^x)}{\ln(-x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\ln\left ( \frac{1-2^x}{-x} \cdot (-x) \right )}{\ln(-x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\ln\frac{2^x-1}{x}+\ln(-x)}{\ln(-x)}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\left [ \frac{\ln\frac{2^x-1}{x}}{\ln(-x)}+1 \right ]=...[/tex] , può funzionare?