Equivalenza tra continuità e limitatezza per funzionali lineari

[18Gigia18]

Ho un dubbi su una dimostrazione. So già che sarà una cosa molto banale però non ci sto arrivando.
Sia $ f: X \rightarrow Y$ un funzionale lineare. Allora sono equivalenti:
a) $f$ è limitato
b) $f$ è continuo
c) $ \exists \quad x_0 \in X : f $ è continuo in $ x_0 $.
Nella dimostrazione del $ c \implies a$ si ha che:
per ogni $\epsilon > 0 \exists \delta > 0 $ tale che per ogni $x$ con $|| x-x_0 || < \delta $: $ || f(x)-f(x_0) || < \epsilon $.
Sia dunque $ \epsilon > 0 $ e sia $ x \in X $tale che $ ||x|| < \delta$.
Dunque $ || f(x) || = || f(x_0+x)-f(x_0)|| < \epsilon $.
Allora $|| f(x) || < \frac{\epsilon}{\delta} ||x|| $ per ogni $x \in X $ cioè $ f $ è limitato.
Non riesco a capire il motivo dell'ultima disuguaglianza: abbiamo che $ || f(x) ||< \epsilon $ e $ ||x|| < \delta$ ma perché questa conclusione?

[Plepp]

"18Gigia18":
Non riesco a capire il motivo dell'ultima disuguaglianza: abbiamo che $ || f(x) ||< \epsilon $ e $ ||x|| < \delta$ ma perché questa conclusione?

Nemmeno io

Di solito per per operatore lineare limitato (tra spazi normati) si intende di solito questo: esiste una costante $M\ge 0$ tale che
\[\forall x\in X,\qquad \|f(x)\|_Y\le M\|x\|_X\]
Se $f$ è continuo in un generico $x_0\in X$, lo è pure in $0_X$ (lascio a te la facile verifica); facciamo quindi la dimostrazione per $x_0=0_X$.

Supponiamo che $f:X\to Y$ sia continuo in $x_0$. Per $\epsilon =1$,
\[\exists \delta >0:\forall x\in X, \qquad \|x-x_0\|\le \delta\implies \|f(x)-f(x_0)\|\le 1\]
Dato che $f$ è lineare, si ha $f(x_0)=f(0_X)=0_Y$, per cui la precedente diviene
\[\exists \delta >0:\forall x\in X, \qquad \|x\|\le \delta\implies \|f(x)\|\le 1 \tag{C}\]
Se $x\in X$, $x\ne 0_X$, si ha che
\[\left\|\dfrac{\delta x}{\|x\|}\right\|=\delta \le \delta\]
per cui
\[\left\|f\left(\dfrac{\delta x}{\|x\|}\right)\right\|\stackrel{f\ \text{lineare}}{=} \dfrac{\delta}{\|x\|}\|f(x)\|\stackrel{(\text{C})}{\le }1 \]
cioè, posto $M:=1/\delta$,
\[\|f(x)\|\le M \|x\|\]
Dato che $f$ è lineare questa disuguaglianza vale anche per $x=0_X$, e abbiamo finito.

[Emar1]

Come ha già accennato Plepp occhio a non fare confusione tra operatori e funzionali lineari. I primi sono applicazioni tra due spazi vettoriali, mentre i funzionali sono a valori scalari!