Equivalenza delle norme su $R^n$
Salve.
Sono alle prese col teorema secondo cui "su $R^n$ tutte le norme sono fra di loro equivalenti".
Una parte della dimostrazione (di Marcellini-Sbordone) è la seguente:
Basta provare che ogni norma $||$$*$$||$ in $R^n$ è equivalente alla norma euclidea $|$$*$$|$. Infatti, per ogni $x$$in$$R^n$ si ha $||x||=||\sum_{i=1}^n x_i e_i||<= \sum_{i=1}^n |x_i |*||e_i||<= max {||e_i||:i=1,2,...n} \sum_{i=1}^n |x_i| <= \sqrt(n)$ $max {||e_i||:i=1,2,...n} |x|=M$$|x|$.
Da questa relazione segue in particolare che, se $x,y$$in$$R^n$, allora $||x-y||<=M|x-y|$ e quindi che la funzione $x->||x||$ è continua in $R^n$ con la metrica euclidea.
Non mi sono chiare alcune cose.
Non riesco a capire da dove viene fuori $sqrt(n)$ e non mi è chiara la parte che ho scritto in grassetto. Perché la funzione $x->||x||$ è continua?
Grazie!
Sono alle prese col teorema secondo cui "su $R^n$ tutte le norme sono fra di loro equivalenti".
Una parte della dimostrazione (di Marcellini-Sbordone) è la seguente:
Basta provare che ogni norma $||$$*$$||$ in $R^n$ è equivalente alla norma euclidea $|$$*$$|$. Infatti, per ogni $x$$in$$R^n$ si ha $||x||=||\sum_{i=1}^n x_i e_i||<= \sum_{i=1}^n |x_i |*||e_i||<= max {||e_i||:i=1,2,...n} \sum_{i=1}^n |x_i| <= \sqrt(n)$ $max {||e_i||:i=1,2,...n} |x|=M$$|x|$.
Da questa relazione segue in particolare che, se $x,y$$in$$R^n$, allora $||x-y||<=M|x-y|$ e quindi che la funzione $x->||x||$ è continua in $R^n$ con la metrica euclidea.
Non mi sono chiare alcune cose.
Non riesco a capire da dove viene fuori $sqrt(n)$ e non mi è chiara la parte che ho scritto in grassetto. Perché la funzione $x->||x||$ è continua?
Grazie!
Risposte
Sta usando questa disuguaglianza:
\[\forall x_1 \ldots x_n \in \mathbb{R},\quad \sum_{1}^n \lvert x_i\rvert \le \sqrt{n}\sqrt{\sum_{1}^n\lvert x_i\rvert^2}.\]
Dimostrala per mezzo della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, scrivendo
\[\sum_1^n\lvert x_i\rvert =\sum_1^n (\lvert x_i\rvert\cdot 1).\]
P.S.:
\[\forall x_1 \ldots x_n \in \mathbb{R},\quad \sum_{1}^n \lvert x_i\rvert \le \sqrt{n}\sqrt{\sum_{1}^n\lvert x_i\rvert^2}.\]
Dimostrala per mezzo della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, scrivendo
\[\sum_1^n\lvert x_i\rvert =\sum_1^n (\lvert x_i\rvert\cdot 1).\]
P.S.:
Perché la funzione \(x \mapsto \lVert x \rVert \) è continua?Perché hai appena dimostrato che essa è Lipschitziana con costante \(M\). Come sai dai tempi di Analisi 1, ogni funzione Lipschitziana è automaticamente anche (uniformemente) continua.
Grazie! Sei stato molto chiaro!
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