Equipotenza

[G.D.5]

Salve amici del forum.

Qualcuno può aiutarmi a dimostrare che $RR$ è equipotente all'intervallo reale $(0;1)$ e che un qualunque sottoinsieme di $RR$ è equipotente all'intervallo $(0;1)$?

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Quanto al primo tuo quesito, puoi prendere la funzione $f:(0;1) \to RR$, $x |-> \tan(\pi(x-1/2))$ e osservare che è biiettiva.

Quanto al secondo, quanto affermi non è vero: per esempio {0} è un sottoinsieme di $RR$ ma non è equipotente a $(0;1)$.

[G.D.5]

Allora: la prima risposta non l'ho capita: non ci sono gli asintoti verticali?

Quanto alla seconda: errore mio di formulazione: intendevo un sottoinsieme $(a,b)$ con $a != b$.

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"WiZaRd":Allora: la prima risposta non l'ho capita: non ci sono gli asintoti verticali?

Sì certo che ci sono, ma non vedo il problema. La funzione è definita in ogni punto dell'intervallo aperto $(0;1)$ (che è il dominio).

[G.D.5]

Si giusto, hai proprio ragione.

Per il primo andrebbe bene una retta?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"WiZaRd":Per il primo andrebbe bene una retta?

Intendi una funzione del tipo $f(x)=mx+q$ ? Direi di no: una tale funzione ristretta a $(0;1)$ ha come immagine, se m non è zero, l'intervallo aperto di estremi q, m+q (in ordine crescente), e quindi tale sua restrizione non è suriettiva.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Sergio":Posso intromettermi?
Mi piacerebbe dimostrare l'equipotenza di $(0,1)$ e $[0,1]$.

Questo sarebbe interessante

[G.D.5]

Ma se la funzione non è definita per $x=0$ e $x=1$ come fanno ad esseerci gli estremi nell'immagine?

Per Sergio: mi hai incuriosito...sai come si fa?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"WiZaRd":Ma se la funzione non è definita per $x=0$ e $x=1$ come fanno ad esseerci gli estremi nell'immagine?

Infatti non ci sono: ho detto intervallo aperto (però dopo aver editato; forse hai letto prima che editassi, scusa )

[G.D.5]

E se prendessi questa:

$f : x in (0;1) to (b-a)x + a in (a;b)$

????????

No è?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"WiZaRd":E se prendessi questa:

$f : x in (0;1) to (b-a)x + a in (a;b)$

Questo funziona: hai dimostrato che $(0;1)$ è equipotente a $(a;b)$ per ogni $a

Cita

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[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Esatto, proprio Cantor-Bernstein! Credo che basti considerare le due seguenti funzioni iniettive:

$(0;1) \to [0;1]$, $x \to x$

$[0;1] \to (-1;2) \to (0;1)$

dove la funzione $[0;1] \to (-1;2)$ è l'inclusione, e la funzione $(-1;2) \to (0;1)$ è una qualunque biiezione.

[G.D.5]

"Sergio":[quote="WiZaRd"]Per Sergio: mi hai incuriosito...sai come si fa?

Ue', per chi mi hai preso????
"So" solo (notare le virgolette) che si dovrebbe dimostrare utilizzando il teorema di Cantor-Bernstein, ma non capisco proprio come....[/quote]

Azz, bisogna andare a parere su questo teorema per dimostrare questa cosa.
Grazie per la nozione: fa sempre bene

[G.D.5]

"Martino":[quote="WiZaRd"]E se prendessi questa:

$f : x in (0;1) to (b-a)x + a in (a;b)$

Questo funziona: hai dimostrato che $(0;1)$ è equipotente a $(a;b)$ per ogni $a

[G.D.5]

"Martino":
dove la funzione $[0;1] \to (-1;2)$ è l'inclusione

Significa che $f : x in [0;1] to y=x in (-1;2)$???

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"WiZaRd":[quote="Martino"]
dove la funzione $[0;1] \to (-1;2)$ è l'inclusione

Significa che $f : x in [0;1] to y=x in (-1;2)$???[/quote]

Sì

[G.D.5]

Wonderful

Vi ringrazio entrambi per le belle cose che mi avete insegnato stasera.

P.S.: ma perchè il sito segna l'una di notte???

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Boh, il mio segna mezzanotte e sei.

[G.D.5]

Grazie.

P.S.
Non ti preoccupare: so mantenere un segreto!

P.P.S.
Ho corretto il fuso: grazie anche per questo.

[G.D.5]

Io vado a dormire: buona notte a tutti e ancora grazie.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Beh, abbiamo visto che $(0;1)$ è equipotente ad un qualunque intervallo aperto $(a;b)$ tramite per esempio la biiezione (proposta da Wizard)

$(0;1) \to (a;b)$

$x to (b-a)x+a$

Quindi in particolare, prendendo a=-1 e b=2, abbiamo che $(0;1)$ e $(-1;2)$ sono equipotenti. Prendendo quindi una biiezione $f:(-1;2) to (0;1)$ tra essi (basta prendere l'inversa di quella definita poco sopra con a=-1 e b=2), e l'inclusione $i$ di $[0;1]$ in $(-1;2)$ (che è una funzione iniettiva), abbiamo certamente che la composta $f \circ i$ è una funzione iniettiva (perché composizione di funzioni iniettive) e va da $[0;1]$ in $(0;1)$. Quindi esiste una tale funzione iniettiva. Esistendone una anche nell'altro verso (l'inclusione) concludiamo tramite il teorema di Cantor-Bernstein che i due intervalli $[0;1]$ e $(0;1)$ sono equipotenti.

Sei d'accordo?