Equintegrabile non implica dominata!!!
Salve.... Avrei bisogno di un esempio di funzione (o successione) equintegrabile ma non dominata (dominata nel senso di convergenza dominata di Lebesgue). Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
Ti posso fare un esempio di successione di funzioni convergente nel senso di $L^1(RR)$ ma non dominata da alcuna funzione sommabile; questo dimostra che le ipotesi del teorema della convergenza dominata sono solo sufficienti. Se mi ricordi il significato di "successione equiintegrabile" posso controllare se questa lo è 
.
Definiamo $f_n:[1, infty)\toRR, f_n(x)={(1/n, n<=x<=n+1), (0, "altrimenti"):}$
Piuttosto che una spiegazione formale preferisco affidarmi ai grafici. Qui abbiamo i primi 15 termini della successione:
L'area dei rettangoli tende evidentemente a $0$, ovvero la successione converge a $0$ nel senso di $L^1$. Ma la successione non può essere dominata da nessuna funzione sommabile. Ecco infatti il grafico di $f(x)="sup"_{n\in NN}f_n(x)$:
(i segmenti verticali sono dovuti ad errori del sistema, fai come se non ci fossero). Questa funzione è la più piccola in valore assoluto tra le funzioni che dominano tutti i termini della successione, e non è sommabile: l'area sottesa dal grafico è $sum_{n=1}^infty1/n=+infty$.
.Definiamo $f_n:[1, infty)\toRR, f_n(x)={(1/n, n<=x<=n+1), (0, "altrimenti"):}$
Piuttosto che una spiegazione formale preferisco affidarmi ai grafici. Qui abbiamo i primi 15 termini della successione:
L'area dei rettangoli tende evidentemente a $0$, ovvero la successione converge a $0$ nel senso di $L^1$. Ma la successione non può essere dominata da nessuna funzione sommabile. Ecco infatti il grafico di $f(x)="sup"_{n\in NN}f_n(x)$:
(i segmenti verticali sono dovuti ad errori del sistema, fai come se non ci fossero). Questa funzione è la più piccola in valore assoluto tra le funzioni che dominano tutti i termini della successione, e non è sommabile: l'area sottesa dal grafico è $sum_{n=1}^infty1/n=+infty$.
Ti ringrazio,sei stato chiarissimo. In realtà la prima cosa che mi era venuta in mente era $ (sent)/t $ ma non andava bene. Mi potresti solo chiarire perchè prendi n≤x≤n+1 ? La mia definizione di equiintegrabile è questa:
$(f_n(x))_{n\inNN}\ "è equiintegrabile " \Leftrightarrow \{ (AA \epsilon > 0","\ EE \delta > 0:\ \int_A|fn(x)| "d"\mu < \epsilon,\ AA A " con " \mu (A) < \delta " e " AA n),(AA \epsilon > 0 ","\ EE B:\ \mu(B) < \infty " e " \int_(\setminus B) |fn(x)| d\mu <\epsilon ,\ AA n):}$
non sapevo come scrivere il sistema con le 2 condizioni e il complementare di B. Grazie mille!!!
$(f_n(x))_{n\inNN}\ "è equiintegrabile " \Leftrightarrow \{ (AA \epsilon > 0","\ EE \delta > 0:\ \int_A|fn(x)| "d"\mu < \epsilon,\ AA A " con " \mu (A) < \delta " e " AA n),(AA \epsilon > 0 ","\ EE B:\ \mu(B) < \infty " e " \int_(\setminus B) |fn(x)| d\mu <\epsilon ,\ AA n):}$
non sapevo come scrivere il sistema con le 2 condizioni e il complementare di B. Grazie mille!!!
"nanninella87":Per forza non andava bene. I concetti di cui stiamo parlando si riferiscono a successioni di funzioni non a funzioni singole. Ti consiglio di chiarire bene questo punto prima di continuare, altrimenti possiamo parlare per una settimana senza andare da nessuna parte. Rivedi l'enunciato del teorema di convergenza dominata.
Ti ringrazio,sei stato chiarissimo. In realtà la prima cosa che mi era venuta in mente era $ (sent)/t $ ma non andava bene.
no no ma infatti era una cosa pensata d'impatto con le mie colleghe di corso,ma poi abbiamo cercato su molti libri e infine abbiamo letto su un libro di cui ora non ricordo il titolo che questa non è integrabile secondo Lebesgue. Il mio libro (Analisi reale e complessa, Walter Rudin) seppur molto chiaro e completo non mi dice granchè riguardo all'equiintegrabilità.
"nanninella87":
questa non è integrabile secondo Lebesgue.
Sono d'accordo, ma non è questo il problema: per cercare un esempio di successione di funzioni equiintegrabili ma non dominate, per prima cosa devi pensare ad una successione, non ad una funzione singola, direi.
Il mio libro (Analisi reale e complessa, Walter Rudin) seppur molto chiaro e completo non mi dice granchè riguardo all'equiintegrabilità.Sul Rudin non se ne parla proprio, mi pare. Ti passo il link ad una dispensina di Enrico Jannelli su varie cose tra cui l'equiintegrabilità (teorema di Vitali): http://www.dm.uniba.it/%7Ejannelli/dida ... alisi3.pdf (vedi il capitolo 2, Alcune proprietà dell'integrale di Lebesgue).
Si grazie per le dispense,ci avevo già guardato...anche io frequento a Bari... 
Ah ottimo, allora abbiamo avuto lo stesso professore. Quindi abbiamo le stesse definizioni. Resta da mostrare che la successione di funzioni $f_n$ di sopra è equiintegrabile, il che non è tanto difficile:
Fissiamo $epsilon>0$.
Per ogni $A\sub[1, infty)$ misurabile e di misura finita, $int_Af_n(x)"d"x<=m(A)1/n$. In particolare scegliendo $delta=n\epsilon$, per ogni $A$ tale che $m(A)
P.S.:
Fissiamo $epsilon>0$.
Per ogni $A\sub[1, infty)$ misurabile e di misura finita, $int_Af_n(x)"d"x<=m(A)1/n$. In particolare scegliendo $delta=n\epsilon$, per ogni $A$ tale che $m(A)
P.S.:
Mi potresti solo chiarire perchè prendi n≤x≤n+1 ?Avrei potuto prendere $n-1<=x<=n$ e poi $[0, infty)$ come spazio di misura. L'importante è avere una successione a scalini, in cui ogni scalino diventa sempre più piccolo ma non abbastanza in fretta perché gli scalini presi tutti insieme formino una funzione sommabile. Spero sia chiaro.
si si poi l'ho capito perchè prendevi n≤x≤n+1.... ti ringrazio sei stato molto chiaro! questo prof è davvero bravo e stimolante,è un piacere seguire le sue lezioni e lo dico io che avevo una mezza idea di seguire complementi! ora non mi pento della scelta fatta,vedremo in procinto dell'esame come mi sentirò....... Grazie ancora!
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