Equazioni trascendenti
Salve a tutti nell'ultimo periodo ho a che fare con le equazioni trascendenti, nello specifico quelle che trattano l'arcontangente, come
$arctg(x/3)-arctg(x/(4-x^2))=\pi/2$
So che la soluzione è $sqrt(6)$, sapreste spiegarmi come procedere per raggiungere questo risultato, e quindi come svolgere questo tipo di equazioni?
Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà.
$arctg(x/3)-arctg(x/(4-x^2))=\pi/2$
So che la soluzione è $sqrt(6)$, sapreste spiegarmi come procedere per raggiungere questo risultato, e quindi come svolgere questo tipo di equazioni?
Ringrazio anticipatamente chi mi aiuterà.
Risposte
potresti applicare la cotangente ambo i membri e usare le proprietà di addizione e sottrazione degli archi.
"anto_zoolander":
potresti applicare la cotangente ambo i membri e usare le proprietà di addizione e sottrazione degli archi.
Intanto grazie mille per la risposta, avevo pensato di applicare il seno ambo i membri, e sfruttare le proprietà della somma/differenza del seno, credo sia analogo al tuo ragionamento mi sbaglio?
Infatti ho ottenuto proprio il risultato indicato.
EDIT Ho applicato lo stesso ragionamento anche a questa equazione
$-arctg(x/(1-x^2)) -x*0.8=-\pi/2$
ma sono arrivato ad un vicolo cieco, infatti applicando il seno ad ambo i membri ho trovato (se non ho sbagliato calcoli):
$cos(x*0.8)=(x^2/(1-x^2)^2)/(sqrt(1+(x^2/(1-x^2))))$
e non so proprio come risolvere quest'ultima equazione ottenuta.
Ringrazio e te e chiunque altro riuscisse ad aiutarmi.
Ciao cozzaciccio,
Mi sa che non hai seguito attentamente il suggerimento di anto_zoolander... Il motivo per cui ti ha consigliato la cotangente è che si ha:
$cot(\alpha - \beta) = cot(\pi/2) = 0 $
Ricordando che $cot(\alpha - \beta) = 1/(tan(\alpha - \beta)) = \frac{1 + tan\alpha tan\beta}{tan\alpha - tan\beta} $ e che nel tuo caso $\alpha := arctan(x/3) $ e $\beta := arctan(\frac{x}{4 - x^2}) $, dovresti riuscire a pervenire alla soluzione...
"anto_zoolander":
potresti applicare la cotangente ambo i membri e usare le proprietà di addizione e sottrazione degli archi.
Mi sa che non hai seguito attentamente il suggerimento di anto_zoolander... Il motivo per cui ti ha consigliato la cotangente è che si ha:
$cot(\alpha - \beta) = cot(\pi/2) = 0 $
Ricordando che $cot(\alpha - \beta) = 1/(tan(\alpha - \beta)) = \frac{1 + tan\alpha tan\beta}{tan\alpha - tan\beta} $ e che nel tuo caso $\alpha := arctan(x/3) $ e $\beta := arctan(\frac{x}{4 - x^2}) $, dovresti riuscire a pervenire alla soluzione...
@cozzaciccio
il mio consiglio è stato volutamente quello di dirti di usare la funzione \( \mathrm{cot} \) perché sfruttando le formule di addizione o sottrazione, come ha fatto vedere piloeffe, ti riduci ad avere una equazione dove compaiono solo gli argomenti, in un certo senso.
La seconda che hai messo invece è tutto un altro paio di maniche e non è nemmeno detto che tu la soluzione possa trovarla algebricamente: intanto concludi la prima e poi parliamo della seconda.
il mio consiglio è stato volutamente quello di dirti di usare la funzione \( \mathrm{cot} \) perché sfruttando le formule di addizione o sottrazione, come ha fatto vedere piloeffe, ti riduci ad avere una equazione dove compaiono solo gli argomenti, in un certo senso.
La seconda che hai messo invece è tutto un altro paio di maniche e non è nemmeno detto che tu la soluzione possa trovarla algebricamente: intanto concludi la prima e poi parliamo della seconda.
"anto_zoolander":
@cozzaciccio
il mio consiglio è stato volutamente quello di dirti di usare la funzione \( \mathrm{cot} \) perché sfruttando le formule di addizione o sottrazione, come ha fatto vedere piloeffe, ti riduci ad avere una equazione dove compaiono solo gli argomenti, in un certo senso.
La seconda che hai messo invece è tutto un altro paio di maniche e non è nemmeno detto che tu la soluzione possa trovarla algebricamente: intanto concludi la prima e poi parliamo della seconda.
Ora ci sono, io applicando il seno ad ambo i membri mi ero complicato solo la vita facendo mille calcoli, ovviamente come dici tu è molto più semplice, ci sono finalmente grazie.
Per la seconda non ho nessuna idea quindi siete la mia unica salvezza
Figurati.
Ovviamente ci sono tanti modi di arrivarci e sebbene sia un ottimo esercizio provare a risolvere le cose in diversi modi, al fine di trovare il tanto blasonato risultato, è meglio semplificarsi la vita. no?
consideriamo ora
In questo tipo di equazioni solitamente non è possibile 'isolare' la $x$: quindi bisogna studiare un po' qualche funzione(che può essere anche una sola) e trarre qualche considerazione di carattere quantitativo.
A tale scopo prendiamo la funzione $f(x)=arctan(x/(1-x^2))+4/5x-pi/2$
E' chiaro che l'insieme dei valori che soddisfa quella equazione coincide con gli zeri di questa funzione: quindi le domande che ci si può porre sono
- esistono zeri?
- se esistono: quanti sono?
- possiamo trovarne qualcuno facilmente?
Una primo studio che possiamo fare è legato alla ricerca degli intervalli di monotonia della funzione.
Il suo dominio è $D_f=RRsetminus{-1,1}$
notiamo che essendo $arctan(x/(1-x^2))$ una composizione di funzioni e dato che la derivata di $arctan$ è sempre positiva allora ci basta studiare il segno della derivata dell'argomento
Quindi la funzione $arctan(x/(1-x^2))$ è composizione di funzione crescenti negli intervalli $(-infty,-1)$ , $(-1,1)$ e $(1,+infty)$
questo significa che in quei tre insiemi distintamente, non nell'unione la funzione $f$ è somma di funzioni monotone e quindi monotona crescente. Infatti nell'unione non è monotona.
Da questo deduciamo che possiamo avere al massimo tre zeri: uno per ciascun intervallo di monotonia.
Quindi per vedere dove sono questi zeri, basta vedere dove $f$ cambia di segno.
Puoi constatare da solo che $f$ cambia di segno solo in $(-1,1)$ e $(1,+infty)$ questo ci garantisce che se gli zeri esistono sono al più due e sono lì.
Quindi sapendo che esistono: quanti sono? Sono esattamente due perché sicuramente troviamo due intervalli chiusi e limitati in $(-1,1)$ e $(1,+infty)$ in cui $f$ è continua e cambia di segno agli estremi -> teorema di esistenza degli zeri.
A questo punto basterebbe trovare i due zeri, ma in questo caso non è per nulla semplice. Quindi a meno che non sia esplicitamente richiesto, puoi concludere affermando che quella equazione ammette esattamente due soluzioni: puoi, al limite, andarle ad approssimare un po' restringendo sempre più gli intervalli in cui cambia segno.
Ti ho scritto tutto questo non per mostrarti come fare questo esercizio: ma per darti un aiuto su come svolgere eventuali esercizi simili a questo e spero ti possa servire
Ovviamente ci sono tanti modi di arrivarci e sebbene sia un ottimo esercizio provare a risolvere le cose in diversi modi, al fine di trovare il tanto blasonato risultato, è meglio semplificarsi la vita. no?
consideriamo ora
$ -arctg(x/(1-x^2)) -4/5x=-\pi/2 => arctan(x/(1-x^2))+4/5x=pi/2$
In questo tipo di equazioni solitamente non è possibile 'isolare' la $x$: quindi bisogna studiare un po' qualche funzione(che può essere anche una sola) e trarre qualche considerazione di carattere quantitativo.
A tale scopo prendiamo la funzione $f(x)=arctan(x/(1-x^2))+4/5x-pi/2$
E' chiaro che l'insieme dei valori che soddisfa quella equazione coincide con gli zeri di questa funzione: quindi le domande che ci si può porre sono
- esistono zeri?
- se esistono: quanti sono?
- possiamo trovarne qualcuno facilmente?
Una primo studio che possiamo fare è legato alla ricerca degli intervalli di monotonia della funzione.
Il suo dominio è $D_f=RRsetminus{-1,1}$
notiamo che essendo $arctan(x/(1-x^2))$ una composizione di funzioni e dato che la derivata di $arctan$ è sempre positiva allora ci basta studiare il segno della derivata dell'argomento
$D(x/(1-x^2))=(1+x^2)/(1-x^2)^2$
Quindi la funzione $arctan(x/(1-x^2))$ è composizione di funzione crescenti negli intervalli $(-infty,-1)$ , $(-1,1)$ e $(1,+infty)$
questo significa che in quei tre insiemi distintamente, non nell'unione la funzione $f$ è somma di funzioni monotone e quindi monotona crescente. Infatti nell'unione non è monotona.
Da questo deduciamo che possiamo avere al massimo tre zeri: uno per ciascun intervallo di monotonia.
Quindi per vedere dove sono questi zeri, basta vedere dove $f$ cambia di segno.
Puoi constatare da solo che $f$ cambia di segno solo in $(-1,1)$ e $(1,+infty)$ questo ci garantisce che se gli zeri esistono sono al più due e sono lì.
Quindi sapendo che esistono: quanti sono? Sono esattamente due perché sicuramente troviamo due intervalli chiusi e limitati in $(-1,1)$ e $(1,+infty)$ in cui $f$ è continua e cambia di segno agli estremi -> teorema di esistenza degli zeri.
A questo punto basterebbe trovare i due zeri, ma in questo caso non è per nulla semplice. Quindi a meno che non sia esplicitamente richiesto, puoi concludere affermando che quella equazione ammette esattamente due soluzioni: puoi, al limite, andarle ad approssimare un po' restringendo sempre più gli intervalli in cui cambia segno.
Ti ho scritto tutto questo non per mostrarti come fare questo esercizio: ma per darti un aiuto su come svolgere eventuali esercizi simili a questo e spero ti possa servire
"anto_zoolander":
Figurati.
Ovviamente ci sono tanti modi di arrivarci e sebbene sia un ottimo esercizio provare a risolvere le cose in diversi modi, al fine di trovare il tanto blasonato risultato, è meglio semplificarsi la vita. no?
consideriamo ora
$ -arctg(x/(1-x^2)) -4/5x=-\pi/2 => arctan(x/(1-x^2))+4/5x=pi/2$
In questo tipo di equazioni solitamente non è possibile 'isolare' la $x$: quindi bisogna studiare un po' qualche funzione(che può essere anche una sola) e trarre qualche considerazione di carattere quantitativo.
A tale scopo prendiamo la funzione $f(x)=arctan(x/(1-x^2))+4/5x-pi/2$
E' chiaro che l'insieme dei valori che soddisfa quella equazione coincide con gli zeri di questa funzione: quindi le domande che ci si può porre sono
- esistono zeri?
- se esistono: quanti sono?
- possiamo trovarne qualcuno facilmente?
Una primo studio che possiamo fare è legato alla ricerca degli intervalli di monotonia della funzione.
Il suo dominio è $D_f=RRsetminus{-1,1}$
notiamo che essendo $arctan(x/(1-x^2))$ una composizione di funzioni e dato che la derivata di $arctan$ è sempre positiva allora ci basta studiare il segno della derivata dell'argomento
$D(x/(1-x^2))=(1+x^2)/(1-x^2)^2$
Quindi la funzione $arctan(x/(1-x^2))$ è composizione di funzione crescenti negli intervalli $(-infty,-1)$ , $(-1,1)$ e $(1,+infty)$
questo significa che in quei tre insiemi distintamente, non nell'unione la funzione $f$ è somma di funzioni monotone e quindi monotona crescente. Infatti nell'unione non è monotona.
Da questo deduciamo che possiamo avere al massimo tre zeri: uno per ciascun intervallo di monotonia.
Quindi per vedere dove sono questi zeri, basta vedere dove $f$ cambia di segno.
Puoi constatare da solo che $f$ cambia di segno solo in $(-1,1)$ e $(1,+infty)$ questo ci garantisce che se gli zeri esistono sono al più due e sono lì.
Quindi sapendo che esistono: quanti sono? Sono esattamente due perché sicuramente troviamo due intervalli chiusi e limitati in $(-1,1)$ e $(1,+infty)$ in cui $f$ è continua e cambia di segno agli estremi -> teorema di esistenza degli zeri.
A questo punto basterebbe trovare i due zeri, ma in questo caso non è per nulla semplice. Quindi a meno che non sia esplicitamente richiesto, puoi concludere affermando che quella equazione ammette esattamente due soluzioni: puoi, al limite, andarle ad approssimare un po' restringendo sempre più gli intervalli in cui cambia segno.
Ti ho scritto tutto questo non per mostrarti come fare questo esercizio: ma per darti un aiuto su come svolgere eventuali esercizi simili a questo e spero ti possa servire
Intanto hai perfettamente ragione, se ci sono diversi modi di risolvere sempre meglio scegliere quello più rapido
Per quanto riguarda il resto hai chiarito un sacco di miei dubbi, ma il problema sta principalmente nel trovare le soluzioni, cioè appunto gli zeri, avevo pensato di trovarli proprio come da te suggerito, armandomi di una calcolatrice e buona volontà e restringendo gli intervalli in modo da arrivare ad una soluzione seppur molto approssimata, ma oltre questo non mi è venuto nulla il mente, tu sapresti consigliarmi qualche tecnica o metodo per riuscire a procedere al calcolo delle soluzioni, poichè sono necessarie con la risoluzione dell'esercizio come indicato dal professore.
Il metodo per restringere l'intervallo mi è noto come "metodo di bisezione", te lo dico perchè magari stiamo intendendo due metodi differenti o appunto gli stessi
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