Equazioni ridotte conica
Buonasera a tutti. Un esercizio chiede: Scrivere le equazioni ridotte della conica di equazione $ x2+2y2−2x+6y−1=0 $
Il problema è che non ho mai fatto questo tipo di esercizi, il professore per problemi di tempo le ha spiegate in 4 ore di lezione, nessuno ci ha capito nulla e non ho neanche idea da dove iniziare. Ho letto un pò di teoria a riguardo, ma nulla che mi sia servito a risolverle. Ho letto che si risolvono con completamento del quadrato, o in forma di matrice o autovalori (questi ultimi non li ho mai fatti), ci ho provato ma non riesco a venirne a capo per questo chiedo aiuto a voi. Se potreste dirmi come si risolvono, magari con i passaggi, ve ne sarei grato. Grazie mille a tutti. Queste sono le soluzioni : $ 4x2+2y2=13 $ e $ 2x2+4y2=13 $
Il problema è che non ho mai fatto questo tipo di esercizi, il professore per problemi di tempo le ha spiegate in 4 ore di lezione, nessuno ci ha capito nulla e non ho neanche idea da dove iniziare. Ho letto un pò di teoria a riguardo, ma nulla che mi sia servito a risolverle. Ho letto che si risolvono con completamento del quadrato, o in forma di matrice o autovalori (questi ultimi non li ho mai fatti), ci ho provato ma non riesco a venirne a capo per questo chiedo aiuto a voi. Se potreste dirmi come si risolvono, magari con i passaggi, ve ne sarei grato. Grazie mille a tutti. Queste sono le soluzioni : $ 4x2+2y2=13 $ e $ 2x2+4y2=13 $
Risposte
avresti dovuto postare in Geometria
comunque,l'equazione della ellisse si può scrivere come
$(x-1)^2-1+2(y+3/2)^2-9/2-1=0$
cioè
$(x-1)^2+2(y+3/2)^=13/2$
cioè
$2(x-1)^2+4(y+3/2)^2=13$
quindi abbiamo un'ellisse con gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani e di centro $(1,-3/2)$
con la traslazione che porta il centro nell'origine degli assi hai l'equazione canonica
$2x^2+4y^2=13$
l'altra equazione si ottiene facendo ruotare l'ellisse ottenuta dalla tralazione di $90°$
comunque,l'equazione della ellisse si può scrivere come
$(x-1)^2-1+2(y+3/2)^2-9/2-1=0$
cioè
$(x-1)^2+2(y+3/2)^=13/2$
cioè
$2(x-1)^2+4(y+3/2)^2=13$
quindi abbiamo un'ellisse con gli assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani e di centro $(1,-3/2)$
con la traslazione che porta il centro nell'origine degli assi hai l'equazione canonica
$2x^2+4y^2=13$
l'altra equazione si ottiene facendo ruotare l'ellisse ottenuta dalla tralazione di $90°$
Mi sei stato di grande aiuto grazie mille. Vorrei chiederti: nel caso di altri tipi di coniche, come iperbole e parabole, possono essere risolte allo stesso modo? ovvero prima il completamento del quadrato, poi il calcolo dei termini e le traslazioni? o cambia qualcosa? grazie ancora.