Equazioni omogenee e sottospazi.
Perchè le soluzioni di un'equazione lineare omogenea costituiscono uno spazio vettoriale?
Risposte
Ti costa tanto accennare una dimostrazione?
Puoi provare per analogia: se hai $V,W$ spazi vettoriali ed $F:V\to W$ lineare, come dimostri che $"ker "F$ è un sottospazio vettoriale di $V$?
Qua, in fondo, stai facendo la stessissima cosa, solo che il tuo $V$ è lo spazio delle funzioni continue insieme a qualche loro derivata (ad esempio $C^2([a,b])$ per equazioni del secondo ordine).
Formalizzando meglio, prendiamo $I\subseteq RR$ intervallo ed $n \in NN$ con $n>=1$; denotiamo con $C(I)$ rispettivamente lo spazio delle funzioni continue in $I$ e con $C^n(I)$ lo spazio delle funzioni continue con le loro derivate $n$-esime in $I$: tali spazi di funzioni sono spazi vettoriali su $RR$ con le operazioni:
$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ (somma puntuale)
$(alpha*f)(x):=alpha*f(x)$ (prodotto per lo scalare puntuale).
Scelti $a_(n-1),\ldots ,a_0 \in C(I)$ e poniamo:
$F:C^n(I) \to C(I), \quad F(y):=y^((n))+\sum_(k=0)^(n-1)a_k*y^((k)) \quad$;
la $F$ è un applicazione lineare tra i due $RR$-spazi vettoriali $C^n(I),C(I)$ e le soluzioni dell'equazione lineare d'ordine $n$:
$y^((n))+\sum_(k=0)^(n-1)a_k*y^((k))=0$
non sono altro che gli elementi di $"ker "F$.
Puoi provare per analogia: se hai $V,W$ spazi vettoriali ed $F:V\to W$ lineare, come dimostri che $"ker "F$ è un sottospazio vettoriale di $V$?
Qua, in fondo, stai facendo la stessissima cosa, solo che il tuo $V$ è lo spazio delle funzioni continue insieme a qualche loro derivata (ad esempio $C^2([a,b])$ per equazioni del secondo ordine).
Formalizzando meglio, prendiamo $I\subseteq RR$ intervallo ed $n \in NN$ con $n>=1$; denotiamo con $C(I)$ rispettivamente lo spazio delle funzioni continue in $I$ e con $C^n(I)$ lo spazio delle funzioni continue con le loro derivate $n$-esime in $I$: tali spazi di funzioni sono spazi vettoriali su $RR$ con le operazioni:
$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ (somma puntuale)
$(alpha*f)(x):=alpha*f(x)$ (prodotto per lo scalare puntuale).
Scelti $a_(n-1),\ldots ,a_0 \in C(I)$ e poniamo:
$F:C^n(I) \to C(I), \quad F(y):=y^((n))+\sum_(k=0)^(n-1)a_k*y^((k)) \quad$;
la $F$ è un applicazione lineare tra i due $RR$-spazi vettoriali $C^n(I),C(I)$ e le soluzioni dell'equazione lineare d'ordine $n$:
$y^((n))+\sum_(k=0)^(n-1)a_k*y^((k))=0$
non sono altro che gli elementi di $"ker "F$.
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