Equazioni nel campo complesso.

[Maturando]

Ciao gente, stavo cercando di fare degli esercizi sulle equazioni in campo complesso. La prima che vi posto diciamo che è di facile impostazione:

$\z^2+z(1+3i)-10+10i=0$

Avevo pensato di sotituire a z la forma cartesiana e porre poi parte reale e immaginaria =0, ma ne viene fuori un sistema abbastanza rompiscatole per me...

Alla fine può essere risolta lasciando il tutto in variabile z e applicando la formula risolutiva. Dopo un po' di passaggi mi trovo:

$\z=(-1-3i+-2*(sqrt(8-i)))/2$

Come si prosegue qui? Vado a scrivere ciò che è sotto radice in forma trigonometrica e vado a fare la radice con Moivre?

Comunque questi esercizi sono abbordabili perché l'algoritmo risolutivo è lineare e immediato, mentre al compito di solito capitano esercizi in cui il problema maggiore è capire come impostare un metodo risolutivo efficace.

Vi posto l'ultimo esercizio capitato all'appello di analisi, in cui non sono proprio riuscito a mettere mani:

$\(z-i)^3=[(sqrt2/2)*(1+i)]^22

Grazie a chi saprà darmi qualche dritta.

[blackbishop13]

Quell' esercizio sono solo conti, neanche impossibili..

quanto fa $[(sqrt(2)/2)*(1+i)]^22$ ?
così spaventa, ma è facile:

innanzitutto $(sqrt(2)/2)=2^(-11)$. e fin qua facile.
poi $(1+i)^11=((1+i)^2)^11=(2i)^11$

vedi che $i^11=i^4*i^4*i^3$ e sapendo che $i^4=1$

rimane $(z-i)^3=i^3$.
questa come la tratti?

[Camillo]

Per l'ultimo esercizio considera che $sqrt(2)(1+i)/2= e^(i pi/4) $ che elevato alla 22-esima dà $e^(11 pi/2 )$ .
Essendo $ 11pi/2 =4pi+3pi/2$ quello che si cerca vale $ e^(i3pi/2 ) = -i $.
Si tratta adesso di trovare le radici terze di $-i $ e poi aggiungere a ciascuna $i $ e otterrai i tre valori di $ z $.

[blackbishop13]

2 soluzioni: la mia è quella stupida e calcolosa,
quella di Camillo è quella bella e veloce..

[Maturando]

Grazie per le risposte, le riguardo con calma e vi faccio sapere se c'è qualcosa che non mi è chiaro

[Maturando]

Ho cercato di porre attenzione sul secondo metodo risolutivo, che già mi impiccio troppo di mio, quindi più è semplice la strada, meglio è

Fatto sta che passato alla forma esponenziale, quando alla fine si ha $\e^(i3/2pi)$, e si torna in forma algebrica, per vedere che quel z in forma esponenziale vale -ì vai a fare il sistema con le condizioni su $\rho$ e $\theta$ o c'è un modo più rapido?

[Camillo]

Semplicemente passo dalla forma esponenziale a quella trigonometrica $e^(i3pi/2)= cos(3pi/2)+i sin(3pi/2)= 0-i =-i $ , punto che sta sull'asse immaginario negativo ed ha modulo unitario .