Equazioni lineari e sistemi differenziali
Sia $A(t):\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$. Consideriamo il sistema lineare $\dot{y}=A(t)y+b(t)$.
$1.$ Una combinazione lineare di soluzioni è soluzione, nel senso che se
$\dot{\varphi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)$
$\dot{\psi}(t)=A(t)\psi(t)+b_{2}(t)$
$\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)+A(t)\psi(t)+b_{2}(t)$
$[\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)]=A(t)[\varphi(t)+\psi(t)]+[b_{1}(t)+b_{2}(t)]$
$2.$ Considero il sistema omogeneo associato $\dot{z}=A(t)z$. Sul Pagani-Salsa leggo che se $\varphi(t)$ è soluzione del primo sistema e $\psi(t)$ è soluzione del sistema omogeneo allora la loro somma è soluzione del primo sistema. Infatti:
$\dot{\varphi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)$
$\dot{\psi}(t)=A(t)\psi(t)$
$\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)+A(t)\psi(t)$
$[\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)]=A(t)[\varphi(t)+\psi(t)]+[b_{1}(t)]$
Viceversa se $\varphi(t)$ è soluzione del primo sistema posso scrivere ogni altra soluzione come $\chi(t)=\varphi(t)+\psi(t)$ essendo anche $\psi(t)$ soluzione del primo sistema, infatti $\chi(t)-\varphi(t)$ è soluzione del secondo sistema. Nel senso che una soluzione del primo sistema è soluzione del secondo sistema con l'aggiunta di un vettore che anche da solo è soluzione del sistema.
$3.$ Perché la soluzione del sistema omogeneo associato ammette una base mentre non vale per il primo sistema? Dal punto 2 vedo che se ho una base per il sistema omogeneo, posso esprimere una soluzione anche per il sistema non omogeneo sommandogli una ulteriore soluzione.
$1.$ Una combinazione lineare di soluzioni è soluzione, nel senso che se
$\dot{\varphi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)$
$\dot{\psi}(t)=A(t)\psi(t)+b_{2}(t)$
$\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)+A(t)\psi(t)+b_{2}(t)$
$[\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)]=A(t)[\varphi(t)+\psi(t)]+[b_{1}(t)+b_{2}(t)]$
$2.$ Considero il sistema omogeneo associato $\dot{z}=A(t)z$. Sul Pagani-Salsa leggo che se $\varphi(t)$ è soluzione del primo sistema e $\psi(t)$ è soluzione del sistema omogeneo allora la loro somma è soluzione del primo sistema. Infatti:
$\dot{\varphi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)$
$\dot{\psi}(t)=A(t)\psi(t)$
$\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)=A(t)\varphi(t)+b_{1}(t)+A(t)\psi(t)$
$[\dot{\varphi}(t)+\dot{\psi}(t)]=A(t)[\varphi(t)+\psi(t)]+[b_{1}(t)]$
Viceversa se $\varphi(t)$ è soluzione del primo sistema posso scrivere ogni altra soluzione come $\chi(t)=\varphi(t)+\psi(t)$ essendo anche $\psi(t)$ soluzione del primo sistema, infatti $\chi(t)-\varphi(t)$ è soluzione del secondo sistema. Nel senso che una soluzione del primo sistema è soluzione del secondo sistema con l'aggiunta di un vettore che anche da solo è soluzione del sistema.
$3.$ Perché la soluzione del sistema omogeneo associato ammette una base mentre non vale per il primo sistema? Dal punto 2 vedo che se ho una base per il sistema omogeneo, posso esprimere una soluzione anche per il sistema non omogeneo sommandogli una ulteriore soluzione.
Risposte
Questa è pura e semplice Algebra Lineare.
Ricorda che se hai un sistema lineare compatibile \(Ax=b\), con \(A\in \mathbb{M}_{m,n}\) e \(b\in \mathbb{R}^m\), allora le soluzioni del sistema si scrivono come somma di una soluzione particolare \(\bar{x}\in \mathbb{R}^n\) del sistema completo più un elemento \(\xi \in \ker A = \{x\in \mathbb{x}^n:\ Ax=\underline{0}\}\), i.e.:
\[
\{x\in \mathbb{R}^m:\ Ax=b\} = \{ \bar{x}+\xi,\ \xi \in \ker A\}\; .
\]
Per le EDO si ragiona allo stesso modo, solo che al posto della matrice \(A\) hai un'operatore differenziale lineare \(\mathcal{L}\).
In particolare, al posto di \(\ker A\) bisogna sostituire \(\ker \mathcal{L} = \{f :\ \mathcal{L}[f](x) =0\}\) è lo spazio nullo di \(\mathcal{L}\), che coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. La cosa interessante è che si dimostra, contrariamente al caso delle matrici (in cui \(\dim \ker A\) può assumere tutti i valori tra \(0\) e \(\min \{m,n\}\)), che \(\dim \ker \mathcal{L}\) coincide con l'ordine dell'operatore \(\mathcal{L}\) (i.e. con il massimo tra gli ordini delle derivate che figurano in \(\mathcal{L}\)).
Ricorda che se hai un sistema lineare compatibile \(Ax=b\), con \(A\in \mathbb{M}_{m,n}\) e \(b\in \mathbb{R}^m\), allora le soluzioni del sistema si scrivono come somma di una soluzione particolare \(\bar{x}\in \mathbb{R}^n\) del sistema completo più un elemento \(\xi \in \ker A = \{x\in \mathbb{x}^n:\ Ax=\underline{0}\}\), i.e.:
\[
\{x\in \mathbb{R}^m:\ Ax=b\} = \{ \bar{x}+\xi,\ \xi \in \ker A\}\; .
\]
Per le EDO si ragiona allo stesso modo, solo che al posto della matrice \(A\) hai un'operatore differenziale lineare \(\mathcal{L}\).
In particolare, al posto di \(\ker A\) bisogna sostituire \(\ker \mathcal{L} = \{f :\ \mathcal{L}[f](x) =0\}\) è lo spazio nullo di \(\mathcal{L}\), che coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo. La cosa interessante è che si dimostra, contrariamente al caso delle matrici (in cui \(\dim \ker A\) può assumere tutti i valori tra \(0\) e \(\min \{m,n\}\)), che \(\dim \ker \mathcal{L}\) coincide con l'ordine dell'operatore \(\mathcal{L}\) (i.e. con il massimo tra gli ordini delle derivate che figurano in \(\mathcal{L}\)).
Ero andato a guardare il caso del sistema $Ax=b$ me se li ho $Ax=0$, nel caso della equazione differenziale ho $\dot{x}=Ax+c$ e $\dot{x}=Ax$. Come rendo questa nella forma $\mathcal{L}[f]=0$, $\dot{x}-Ax=0$ ? Vorrei capire come ricondurmi a quello che hai detto tu.
Nal tuo caso l'operatore differenziale è \(\mathcal{L}[y](t):=\dot{y}(t)-A(t)\ y(t)\), e la EDO si riscrive \(\mathcal{L}[y](t)=b(t)\) e l'equazione omogenea associata, i.e. l'equazione di \(\ker \mathcal{L}\), è ovviamente \(\mathcal{L}[y](t)=0\).
Un'ultima domanda. Che relazione intercorre fra l'indipendenza lineare dei vettori della base e il non annullarsi del determinante wronskiano?
Accidenti, bisognava riflettere un poco di più su quanto era già scritto sul libro! Indico con $S_{1}$ l'insieme delle soluzioni del primo sistema e con $S_{2}$ quelle del sistema associato. Se $\varphi_{1,2} \in S_1$ e $\psi_{1,2} \in S_{2}$
$1.$ Le soluzioni $\in S_{2}$ formano un sottospazio vettoriale (...esiste quindi una base), infatti
$\lambda_{1}\dot{\psi_{1}}=A\lambda_{1}\psi_{1}$
$\lambda_{1}\dot{\psi_{2}}=A\lambda_{2}\psi_{2}$
$\lambda_{1}\dot{\psi_{1}}+\lambda_{2}\dot{\psi_{2}}=A\lambda_{1}\psi_{1}+A\lambda_{2}\psi_{2}$
$[\lambda_{1}\dot{\psi_{1}}+\lambda_{2}\dot{\psi_{2}}]=A[\lambda_{1}\psi_{1}+\lambda_{2}\psi_{2}]$
$2.$ Le soluzioni $\in S_{1}$ non formano un sottospazio vettoriale, infatti
$\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}=A\lambda_{1}\varphi_{1}+b$
$\lambda_{1}\dot{\varphi_{2}}=A\lambda_{2}\varphi_{2}+b$
$\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}+\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}=A\lambda_{1}\varphi_{1}+b_{1}+A\lambda_{2}\varphi_{2}+b$
$[\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}+\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}]=A[\lambda_{1}\varphi_{1}+\lambda_{2}\varphi_{2}]+2b$
$3.$ Se $\chi\in S_{1}$ e $\overline{\varphi} \in S_{1}$ allora $\chi$ si scrive come somma di una soluzione del primo sistema ed una soluzione del secondo
$\chi=\chi$
$\chi=\overline{\varphi}+[\chi-\overline{\varphi}]$
$\dot{\chi}=A\chi+b$
$\dot{\overline{\varphi}}=A\overline{\varphi}+b$
$\dot{\chi}-\dot{\overline{\varphi}}=A\chi+b-A\overline{\varphi}-b$
$\dot{\chi}-\dot{\overline{\varphi}}=A\chi-A\overline{\varphi}$
$\dot{\chi}-\dot{\overline{\varphi}}=A[\chi-\overline{\varphi}]$
$\chi-\overline{\varphi} \in S_{2}$
$1.$ Le soluzioni $\in S_{2}$ formano un sottospazio vettoriale (...esiste quindi una base), infatti
$\lambda_{1}\dot{\psi_{1}}=A\lambda_{1}\psi_{1}$
$\lambda_{1}\dot{\psi_{2}}=A\lambda_{2}\psi_{2}$
$\lambda_{1}\dot{\psi_{1}}+\lambda_{2}\dot{\psi_{2}}=A\lambda_{1}\psi_{1}+A\lambda_{2}\psi_{2}$
$[\lambda_{1}\dot{\psi_{1}}+\lambda_{2}\dot{\psi_{2}}]=A[\lambda_{1}\psi_{1}+\lambda_{2}\psi_{2}]$
$2.$ Le soluzioni $\in S_{1}$ non formano un sottospazio vettoriale, infatti
$\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}=A\lambda_{1}\varphi_{1}+b$
$\lambda_{1}\dot{\varphi_{2}}=A\lambda_{2}\varphi_{2}+b$
$\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}+\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}=A\lambda_{1}\varphi_{1}+b_{1}+A\lambda_{2}\varphi_{2}+b$
$[\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}+\lambda_{1}\dot{\varphi_{1}}]=A[\lambda_{1}\varphi_{1}+\lambda_{2}\varphi_{2}]+2b$
$3.$ Se $\chi\in S_{1}$ e $\overline{\varphi} \in S_{1}$ allora $\chi$ si scrive come somma di una soluzione del primo sistema ed una soluzione del secondo
$\chi=\chi$
$\chi=\overline{\varphi}+[\chi-\overline{\varphi}]$
$\dot{\chi}=A\chi+b$
$\dot{\overline{\varphi}}=A\overline{\varphi}+b$
$\dot{\chi}-\dot{\overline{\varphi}}=A\chi+b-A\overline{\varphi}-b$
$\dot{\chi}-\dot{\overline{\varphi}}=A\chi-A\overline{\varphi}$
$\dot{\chi}-\dot{\overline{\varphi}}=A[\chi-\overline{\varphi}]$
$\chi-\overline{\varphi} \in S_{2}$
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