Equazioni lineari del primo ordine

[IlRosso1]

Buongiorno a tutti! Sto studiando le equazioni lineari del primo ordine, più precisamente come trovarne l'integrale generale che si ottiene aggiungendo all'integrale generale dell'equazione omogenea una soluzione particolare dell'equazione completa.
Il mio dubbio riguarda la ricerca dell'integrale generale dell'equazione omogenea (nella mia dispensa definita così: $ z'(t)+a(t)z(t)=0 $ ): in pratica prendendo una primitiva di $ a(t) $ definita come $ A(t) $ ,si moltiplicano ambo i membri per $ e^(A(t)) $ cioè si ottiene

$ z'(t)e^(A(t))+a(t)z(t)e^(A(t))=0 $

da cui

$ d/dt[z(t)e^(A(t))]=0 $

e cioè $ z(t)e^(A(t))=C $ costante che si riscrive come

$ z(t)=Ce^(-int_()^() a(t)dt) $

Quello che non ho capito è il passaggio per cui $ d/dt[z(t)e^(A(t))]=0 $. Qualcuno sa aiutarmi? (spero di essere stato abbastanza chiaro)

[Gaal Dornick]

Risolvere le equazioni differenziali può essere tricky, ossia ci vuole l'idea giusta. E' un po' come fare gli integrali, ci vuole l'idea giusta, e non è neanche ovvio che si possa effettivamente fare (ci sono integrali non esplicitamente integrabili).

In questo caso, l'idea è moltiplicare tutto per $e^{A(t)}$. Ottieni
$z'(t) e^{A(t)} +a(t) z(t) e^{A(t)}=0$, per ogni $t$ (se la funzione $z$ risolve l'equazione, allora risolve anche questa; se la funzione risolve questa, allora risolve anche l'equazione di partenza: abbiamo semplicemente considerato un problema equivalente).
Calcola esplicitamente
$d/dt (z(t)e^{A(t)})= z'(t) e^{A(t)} + z(t) e^{A(t)} A'(t)=z'(t) e^{A(t)} +a(t) z(t) e^{A(t)}$
cosa osservi? Le due equazioni ottenute sono le stesse, quindi la derivata suddetta è $0$.

[IlRosso1]

Mio dio, e sì che mi bastava sviluppare la derivata per arrivarci! Grazie mille, mi scuso per il disturbo visto che era una sciocchezza!