Equazioni integrali

[alberto861]

Salve qualcuno sa come si applica la risoluzione tramite serie all'equazione integrale $f(x) -\lambda \int_a^b \{K_s(x,y)+K_{\varepsilon}(x,y)\}f(y)dy=g(x)$ con $\lambda$ e $g$ noti, $K_s=\sum_{i=1}^N p_i(x) q_i(y)$ con $p_i$ e $q_i$ noti e con $ max _{(x,y) \in[a,b]^2} |K_{\varepsilon}(x,y)| <\varepsilon$ le funzioni in questione tutte continue..grazie mille

[Gabriel6]

Immagino ti riferisca al metodo delle serie di Liouville-Neumann per la risoluzione (formale) di un'equazione integrale nell'ambito della teoria operatoriale di Fredholm. La questione, tuttavia, qual è, per l'esattezza?

[alberto861]

su un libro ho trovato una soluzione del tipo: chiamo $F(x)=g(x)+\int_a^b K_s(x,y)f(y) dy$ e il problema diventa $f(x)-\lambda \int_a^b K_{\varepsilon}(x,y) f(y) dy=F(x)$ a questo punto risolvo questa per serie..il mio problema è che nell'approccio della risoluzione per serie la funzione $F$ è nota mentre qui dipende da f..è un gatto che si morde la coda

[Gabriel6]

... ma applicare all'equazione il metodo delle serie di Liouville-Neumann, dopo aver definito il kernel $K(\cdot): (a,b)^2 \to RR: (x,y) \to K_s(x,y) + K_\epsilon(x,y)$, che genere di difficoltà ti comporta?

[alberto861]

che quella serie non converge sempre..mentre se $\lambda

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[Gabriel6]

D'accordo. Vediamo, allora, di capirci qualcosa in più: all'origine dei tempi, si trattava di risolvere un'equazione integrale (di Fredholm di seconda specie), determinando - se possibile - una funzione $f(\cdot): [a,b] \to RR$ continua tale che $f(x) = g(x) + \lambda \cdot \int_a^b K(x,y) f(y) dy$, dove $\lambda \in R$ e $g(\cdot): [a,b] \to RR$ e $K(\cdot): [a,b]^2 \to RR$ sono esse stesse funzioni continue. S'intende, naturalmente, che $\lambda$, $g(\cdot)$ e $K(\cdot)$ sono noti. Da quanto ho capito, l'idea è di scomporre $K(\cdot)$ nella somma di un kernel di Pincherle-Goursat $K_n(\cdot): [a,b]^2 \to RR$ del tipo $\sum_{i=1}^n p_i(x) q_i(y)$, e di un contributo residuale $K_{n}^{(r)}(\cdot) = K(\cdot) - K_n(\cdot)$ tale che $\max_{x,y\in [a,b]} |K_{n}^{(r)}(x,y)| < \epsilon$, dove $n \in NN = \{1, 2, \ldots\}$ e $K_n(\cdot)$ si ammette continuo. In tal caso, un modo possibile sarebbe di considerare - ammesso che esista - una soluzione $f_n(\cdot): [a,b] \to RR$ (meglio se unica) dell'equazione $f_n(x) = g(x) + \int_a^b K_n(x,y) f_n(y) dy$ e dimostrare ottimisticamente che $f_n \to f$ in qualche senso. Tanto più che, per un'equazione integrale di Fredholm di seconda specie con un kernel di Pincherle-Goursat, è nota una tecnica indolore di risoluzione, alternativa all'impiego delle serie di Neumann-Liouville. Inter nos, sia detto, infine, che l'approccio del tuo libro io proprio non lo riesco a capire.

[alberto861]

ho risolto era una cavolata..praticamente per il nucleo residuo so che la serie converge e chiamo $H_{\varepsilon}(x,y)$ la somma della serie a quel punto l'equazione $f(x)-\lambda \int_a^b K_{varepsilon}(x,y)f(y)dy=F(x)$ ha la soluzione formale data per serie $f(x)=F(x)-\lambda \int_a^b H_{\varepsilon}(x,y)F(x)$ sostituendo alla $F$ ottengo equazione con nucleo separabile $f(x)-\lambda \sum_{i=1}^n P_i(x) \int_a^b q_i(y)f(y) dy=G(x)$ avendo raccolto i termini come $G(x)=g(x)+\lambda \int_a^b H_{\varepsilon}(x,y)g(y)dy$ e $P_i(x)=p_i(x)+\int_a^b H_{\varepsilon}(x,y)p_i(y) dy$ essendo $K_s(x,y)=\sum_{i=1}^n p_i(x)q_i(y)$

[Gabriel6]

Eppure continuo a non capire. Posso chiederti di che libro si tratta? Titolo, autore, edizione e numero di pagina in cui viene affrontato l'argomento?

[alberto861]

autore Bitsadze titolo "Equations of mathematical physics"..Sembra difficile ma in realtà basta capire che se ho un nucleo separabile (operatore di rango finito) ho una soluzione esplicita tramite i teoremi di Fredholm, esiste poi un altro teorema per cui se ho un operatore "piccolo" in norma ho una serie di nuclei risolventi il problema convergente e mettendo assieme le due cose ho risolto

[Gabriel6]

Le dimostrazioni qualitative mi convincono sempre poco. A che pagina vado? Il libro è disponibile on-line (in inglese, scaricabile in formato djvu da questo link).

[alberto861]

prova sul mulo io l'ho trovato lì

[Gabriel6]

Davvero è direttamente scaricabile dalla rete (vedi il link segnalato sopra).

[alberto861]

quale link?

[Gabriel6]

"Gabriel":Le dimostrazioni qualitative mi convincono sempre poco. A che pagina vado? Il libro è disponibile on-line (in inglese, scaricabile in formato djvu da questo link).

... devi essertelo perso in qualche modo - eccolo là.

[alberto861]

pagina 220 del libro