Equazioni in C.

[galles90]

Buongiorno,

Determinare le soluzioni dell'equazioni

$z^5+z^4+16z+16=0$

Procedo cosi, abbaso di un grado la precedente equazione con Ruffini trovando come soluzione del polinomio assocciato
$P(z)=z^5+z^4+16z+16=0$ per $z_0=1$, quindi risolvedno con Ruffini e con $z_0$, ottengo:
$z^5+z^4+16z+16=(z+1)(z^4+16)=0$

allora
$z+1=0 vee z^4+16=0$
$z+1=0 to z=-1$
$z^4+16=0$ non so come procedere, devo porre $z^4=y^2$ e risolvo, oppure devo completare $z^4+16=0$ con la tecnica del quadrato.
A dire la verità sono più convinto della seconda,aspetto un vostro chiarimento.

Ciao

[pilloeffe]

Ciao galles90,

La cosa più comoda mi pare quella di riscriverla in forma esponenziale:

$z^4 = - 16 $

$\rho^4 e^{4i\theta} = 16 e^{i \pi} $

da cui si ottiene facilmente $\rho = 2 $ e $4\theta = \pi + 2k\pi \implies \theta = \pi/4 + k\pi/2 $ con $ k = 0, 1, 2, 3 $ (poi le soluzioni si ripetono).

[gugo82]

Scusate, ma i raccoglimenti parziali ed i prodotti notevoli non vanno più di moda?

Il polinomio si scrive $(z^4 + 16)(z+1) = (z+1)(z^4 + 8z^2 + 16 - 8z^2) = (z+1)[(z^2+4)^2 - 8z^2]=(z+1)(z^2 -2 sqrt(2) z +4)(z^2 +2sqrt(2) z +4)$ con tecniche da prima superiore...

Ma ad ogni buon conto, arrivati a $(z+1)(z^4 + 16)$ le radici sono $-1$ e le quattro radici quarte di $-16$.