Equazioni differenziali: x' =(x^2-\sqrt{13}x+3)/(x^2)

[David_jcd]

Ciao!
Sono in cerca di aiuto con le equazioni differenziali. Qualche giorno fa sono incappato nella seguente, e non riesco a risolverla.

[tex]\dot x(t) =\frac{x(t)^2-\sqrt{13}x(t)+3}{x(t)^2}[/tex]

Come si fa a trovarne l'integrale generale?

In generale fatico a trovare la soluzione per equazioni autonome che contengono rapporti tra polinomi, dei quali quella proposta è un esempio.

Ho provato a dividere tutto, così:
[tex]\frac{dx}{dt} \frac{x^2}{x^2-\sqrt{13}x+3}=1[/tex]

e quindi

[tex]\frac{x^2\quad dx}{x^2-\sqrt{13}x+3}={dt}[/tex]

A questo punto dovrei integrare, ma è un calcolo complicato.
Io ho provato ad espandere [tex]\frac{x(t)^2}{x(t)^2-\sqrt{13}x(t)+3}[/tex] in fraziono parziali, ma anche li, non sono andato tanto lontano, finisco in calcoli che richiedono molto tempo (e con alta probabilità di errore), quindi suppongo (spero) che il problema si possa risolvere in un altro modo.
Ci sono altre vie?

[K.Lomax]

[tex]x^2-\sqrt{13}x+3=\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{13}+1}{2}\right)[/tex]

Mica lo vedo così complicato.

[David_jcd]

"K.Lomax":[tex]x^2-\sqrt{13}x+3=\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{13}+1}{2}\right)[/tex]

Mica lo vedo così complicato.

Ciao!
Innanzitutto ho corretto il messaggio, è [tex]\frac{x(t)^2}{x(t)^2-\sqrt{13}x(t)+3}[/tex] l'espressione che ho espanso in frazioni parziali.
Fino a dove sei arrivato tu, sono riuscito anche io, quello che non riesco a fare è calcolare l'integrale di [tex]\frac{x^2}{\left(x+\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{13}+1}{2}\right) }[/tex]

Sono sicuro che in realtà sia facilissimo, ma qualcosa di sicuro mi è sfuggito, ci ho passato ore senza risultato!
Ho chiamato [tex]\alpha=\frac{\sqrt{13}+1}{2}[/tex] e [tex]\beta=\frac{\sqrt{13}-1}{2}[/tex].
A questo punto ho posto [tex]\frac{x^2}{(x-\alpha)(x-\beta)}=\frac{A}{(x-\alpha)}+\frac{B}{(x-\beta)}[/tex], trovato [tex]A=\frac{\sqrt{13}x}{\frac{\sqrt{13}-1}{\sqrt{13}+1}+1}[/tex], [tex]B=\frac{\sqrt{13}x}{1-\frac{1-\sqrt{13}}{\sqrt{13}+1}}[/tex].
A questo punto devo ancora calcolare l'integrale...

[enr87]

quando hai una forma del tipo $x/(x+k)$ con k costante, aggiungi e sottrai k al numeratore. ottieni così: $(x+k-k)/(x+k) = 1 - k/(x+k)$. a questo punto è elementare.

[David_jcd]

"enr87":quando hai una forma del tipo $x/(x+k)$ con k costante, aggiungi e sottrai k al numeratore. ottieni così: $(x+k-k)/(x+k) = 1 - k/(x+k)$. a questo punto è elementare.

Mannaggia, è vero! Con tutte quelle radici e frazioni non avevo notato che in realtà la forma è semplice! Ci provo e vi faccio sapere. Grazie.

In generale mi confermate che il metodo che ho adottato va bene per calcolare integrali di rapporti tra polinomi?

[enr87]

sì, ma questo dovresti saperlo già da analisi 1

[David_jcd]

"enr87":sì, ma questo dovresti saperlo già da analisi 1

é proprio vero!
Quello che mi spaventava era il tempo necessario a fare i calcoli. Immagino che per tutte le equazioni di questo tipo il procedimento da seguire sia lo stesso, allora. In alcuni fortunati casi posso risolvere con il procedimento di Bernoulli, e speravo che ci fossero altri metodi più diretti per le edo del tipo di quella che ho proposto al primo messaggio.