Equazioni differenziali su su(n)
stavo leggendo di equazioni differenziali, e si diceva di studiarle sull'algebra su(n).
cosa si intende?
come si fa? (a grandi linee, ovviamente)
cosa si intende?
come si fa? (a grandi linee, ovviamente)
Risposte
Chi è l'algebra su(n)?
Che libro leggevi?
Su dai ragazzi, non è possibile rispondere decentemente se non citate fonti o almeno le definizioni...
Che libro leggevi?
Su dai ragazzi, non è possibile rispondere decentemente se non citate fonti o almeno le definizioni...
"Gugo82":
Su dai ragazzi, non è possibile rispondere decentemente se non citate fonti o almeno le definizioni...
caspita quanta confidenza...
la fonte purtroppo non l'ho più trovata, altrimenti avrei approfondito usando la bibliografia.
gli elementi di SU(n) sono le matrici di ordine n con determinante pari a 1.
colpa mia, pensavo la definizione fosse abbastanza nota da permettermi la licenza di scriverla minuscola.
A volte mi chiedo se i corsi di algebra lineare di base servano ancora a qualcosa...
mmm... le lettere contano se ben ricordo...
SU(N) è il gruppo di Lie delle matrici complesse NxN a determinante 1 (gruppo con operazione di moltiplicazione)
su(N) è l'algebra di Lie associata
purtroppo non trovo queste definizioni on-line...
SU(N) è il gruppo di Lie delle matrici complesse NxN a determinante 1 (gruppo con operazione di moltiplicazione)
su(N) è l'algebra di Lie associata
purtroppo non trovo queste definizioni on-line...
"Thomas":
mmm... le lettere contano se ben ricordo...
SU(N) è il gruppo di Lie delle matrici complesse NxN a determinante 1 (gruppo con operazione di moltiplicazione)
su(N) è l'algebra di Lie associata
touchè.
qualche idea su come farci entrare un'equazione differenziale (mi sembra fosse parabolica)?
La butto lì....
Forse l'idea di fondo è quella di riscrivere l'equazione differenziale, supponendo che abbia come incognite vettori di $RR^n$, in termini di elementi di SU(n). Così ottieni la tua soluzione come matrice $U(t)$ che ti manda la condizione iniziale $\vec x_0$ nella soluzione attraverso $\vec x(t) = U(t) \vec x_0$.
Non so se il senso sia questo. Ti posso dire però che in meccanica quantistica si fa così quando si passa dalla rappresentazione di Schroedinger, in cui è la funzione d'onda a evolvere nel tempo, a quella di Heisenberg, in cui la funzione d'onda è come congelata e si è interessati solo all'operatore di evoluzione $U(t)$. Non so se è chiaro quello che intendo....
Forse l'idea di fondo è quella di riscrivere l'equazione differenziale, supponendo che abbia come incognite vettori di $RR^n$, in termini di elementi di SU(n). Così ottieni la tua soluzione come matrice $U(t)$ che ti manda la condizione iniziale $\vec x_0$ nella soluzione attraverso $\vec x(t) = U(t) \vec x_0$.
Non so se il senso sia questo. Ti posso dire però che in meccanica quantistica si fa così quando si passa dalla rappresentazione di Schroedinger, in cui è la funzione d'onda a evolvere nel tempo, a quella di Heisenberg, in cui la funzione d'onda è come congelata e si è interessati solo all'operatore di evoluzione $U(t)$. Non so se è chiaro quello che intendo....
penso d'aver capito cosa intendi.
ma in questo caso è necessario verificare preventivamente che ogni sfera di raggio fissato sia invariante per l'evoluzione del sistema?
ma in questo caso è necessario verificare preventivamente che ogni sfera di raggio fissato sia invariante per l'evoluzione del sistema?
Mi pare che sia automatico. Infatti se $U(t) \in SU(n)$ allora è unitario, cioè $U^+ U = I$ e quindi
$|x(t)|^2 = < x(t) , x(t) > = < U x_0 , U x_0 > = < x_0 , U^+ U x_0 > = < x_0 , x_0 > = |x_0|^2$
$|x(t)|^2 = < x(t) , x(t) > = < U x_0 , U x_0 > = < x_0 , U^+ U x_0 > = < x_0 , x_0 > = |x_0|^2$
intendevo dire un'altra cosa.
prima di assumere che esistano soluzioni del tipo $x(t)=U(t)x_0$ non devi verificare che il problema, con questa ulteriore condizione, sia ben posto?
prima di assumere che esistano soluzioni del tipo $x(t)=U(t)x_0$ non devi verificare che il problema, con questa ulteriore condizione, sia ben posto?
Ah! capito... Sinceramente non so. La verità è che ti rispondo da fisico, perchè queste cose le ho viste solo applicate alla meccanica quantistica. Quindi non riesco a essere molto rigoroso. L'unica cosa che mi viene in mente è ragionare sullo spazio di funzioni in cui cerchi la soluzione. Sempre prendendo la meccanica quantistica come esempio ti posso dire che le soluzioni accettabili devono appartenere a $L^2$, così puoi normalizzarle a $1$. Forse è per questo motivo che tu cerchi l'operatore di evoluzione in SU(n), così sei certo che la funzione d'onda rimane normalizzata.
Lascio posto a chi di queste cose se ne intende più di me....
Lascio posto a chi di queste cose se ne intende più di me....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo