Equazioni differenziali, soluzioni terza categoria
Salve a tutti,
non so se avete mai sentito parlare di soluzioni di terza categoria o soluzioni miste per quanto riguarda le equazioni differenziali. E' un concetto che ancora non mi è chiaro per niente e siccome non è molto noto vi passo la spiegazione del mio libro sperando che qualcuno possa darmi una mano nella risoluzione di un'equazione differenziale in particolare: Equazioni di Bernoulli (che è quella che m'interessa). Siano p,q: (a,b) -> R due funzioni continue e m $ in $ R. Consideriamo il caso in cui m > 0. In questo caso l'equazione ammette la soluzione y(x) = 0 in (a,b) (1° categoria). Senza altre ipotesi su m siamo costretti a cercare eventuali soluzioni positive dell'equazione (2° categoria - parla di tutto lo svolgimento dell'equazione di Bernoulli). Infine potrebbero esservi soluzioni di tipo misto cioè funzioni identicamente nulle in qualche sottointervallo di (a,b) senza essere identicamente nulle in (a,b). Ciò tuttavia è impossibile nel caso in cui m > 1. Infatti, in questo caso sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di esistenza e unicità globale. Il caso m < 0 risulta più semplice nel senso che le uniche soluzioni sono quelle che non assumono mai il valore zero.
Detto questo, io ho il seguente problema di Cauchy:
y' = (4/x)y + x*y^1/2
y(1) = 1
Qualcuno è in grado di darmi le soluzioni di tutte le categorie così da capire se ho fatto bene l'esercizio e se ho capito bene il concetto? (Chiaramente la prima categoria non è necessaria
)
Grazie!
non so se avete mai sentito parlare di soluzioni di terza categoria o soluzioni miste per quanto riguarda le equazioni differenziali. E' un concetto che ancora non mi è chiaro per niente e siccome non è molto noto vi passo la spiegazione del mio libro sperando che qualcuno possa darmi una mano nella risoluzione di un'equazione differenziale in particolare: Equazioni di Bernoulli (che è quella che m'interessa). Siano p,q: (a,b) -> R due funzioni continue e m $ in $ R. Consideriamo il caso in cui m > 0. In questo caso l'equazione ammette la soluzione y(x) = 0 in (a,b) (1° categoria). Senza altre ipotesi su m siamo costretti a cercare eventuali soluzioni positive dell'equazione (2° categoria - parla di tutto lo svolgimento dell'equazione di Bernoulli). Infine potrebbero esservi soluzioni di tipo misto cioè funzioni identicamente nulle in qualche sottointervallo di (a,b) senza essere identicamente nulle in (a,b). Ciò tuttavia è impossibile nel caso in cui m > 1. Infatti, in questo caso sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di esistenza e unicità globale. Il caso m < 0 risulta più semplice nel senso che le uniche soluzioni sono quelle che non assumono mai il valore zero.
Detto questo, io ho il seguente problema di Cauchy:
y' = (4/x)y + x*y^1/2
y(1) = 1
Qualcuno è in grado di darmi le soluzioni di tutte le categorie così da capire se ho fatto bene l'esercizio e se ho capito bene il concetto? (Chiaramente la prima categoria non è necessaria
)Grazie!
Risposte
Io ragionerei cosi: sia assegnato il problema di Cauchy
\begin{align*}\begin{cases}
y' =\displaystyle\frac{4}{x}y + xy^{1/2}\\
y(1) = 1
\end{cases};
\end{align*}
esso è relativo ad una equazione differenziale del primo ordine, non lineare omognena di Bernulli, la quale è già in forma normale, cioè nella forma $y'(x)=f(x,y(x)),$ con secondo membro definito da:
\begin{align*}
f(x,y):=\frac{4}{x}y + xy^{1/2},
\end{align*}
per $(x;y)\in\Omega:=\{(x;y)\in\R^2:y\ge0\}.$ Dato che $f$ non è di classe $C^{1} (\Omega ),$ e nemmeno localmente lipshitziana rispetto alla seconda variabile in $ \Omega,$ il teorema di esistenza ed unicità locale non si applica e non garantisce l'unicità della soluzione $y(x)$ del problema di Cauchy in un intorno del punto iniziale. Tuttavia essendo $f$ continua in $\Omega$ il teorema di Peano assicura l'esistenza della soluzione.Supposto $y\ne0,$ cosa lecita in quanto in un intorno del punto iniziale $1$ la variabile $y$ è sicuramente diversa da zero essendo $ y(1)=1,$ dividiamo ambo i membri dell'equazione differenziale per $y^{1/2}:$
\begin{align*}
\frac{y'(x)}{y^{1/2}(x)}= \frac{4}{ x}\cdot y^{1/2}(x) +x;\quad\mbox{posto}\quad v(x)= y^{1/2}(x)\quad\Rightarrow\quad v'(x)= \frac{y(x)}{2 y^{1/2}(x)}
\end{align*}
il problema di Cauchy assegnato si trasforma nel problema seguente:
\begin{align*}
\begin{cases}
2v'(x)=\displaystyle \frac{4}{ x}\cdot v (x) +x, \\
v(1)=1
\end{cases},
\end{align*}
che è un problema di Cauchy relativo ad una equazione differenzaile del primo lineare a coefficienti non costanti, che scritta in forma normale risulta:
l\begin{align*}
v'(x) -\frac{2}{ x}\cdot v (x) =\frac{x}{2},\quad\mbox{con}\quad a(x)=-\frac{2}{ x},\qquad b(x)= x;
\end{align*}
moltiplicando ambo i membri per $e^{A(x)}=e^{\int a(x)dx}= 1/x^2,$ ed integrando si ottiene
\begin{align*}
\int v'(x) \cdot \frac{1}{x^2}-\frac{2}{ x}\cdot\frac{1}{x^2} \cdot v (x) \,\,dx= \int \frac{1}{ 2x}\cdot\,\,dx\quad &\Leftrightarrow\quad \int \left(v (x) \cdot \frac{1}{x^2}\right)' \,\,dx= \frac { \ln| x|}{2}+c\\
& \Leftrightarrow\quad v (x) \cdot \frac{1}{x^2} =\frac { \ln| x|}{2}+c\\
& \Leftrightarrow\quad v (x) = x^2\frac { \ln| x|}{2}+cx^2\\
& \Leftrightarrow\quad y (x)= \left(x^2\frac { \ln| x|}{2}+cx^2\right)^2 \\
y(1)=1 \quad & \Leftrightarrow\quad 1= \pm c^2\quad \Leftrightarrow\quad c=\pm1\\
& \Leftrightarrow\quad y _1(x)= \left(x^2\frac { \ln| x|}{2}+ x^2\right)^2\quad y _2(x)= \left(x^2\frac { \ln| x|}{2}-x^2\right)^2.
\end{align*}
\begin{align*}\begin{cases}
y' =\displaystyle\frac{4}{x}y + xy^{1/2}\\
y(1) = 1
\end{cases};
\end{align*}
esso è relativo ad una equazione differenziale del primo ordine, non lineare omognena di Bernulli, la quale è già in forma normale, cioè nella forma $y'(x)=f(x,y(x)),$ con secondo membro definito da:
\begin{align*}
f(x,y):=\frac{4}{x}y + xy^{1/2},
\end{align*}
per $(x;y)\in\Omega:=\{(x;y)\in\R^2:y\ge0\}.$ Dato che $f$ non è di classe $C^{1} (\Omega ),$ e nemmeno localmente lipshitziana rispetto alla seconda variabile in $ \Omega,$ il teorema di esistenza ed unicità locale non si applica e non garantisce l'unicità della soluzione $y(x)$ del problema di Cauchy in un intorno del punto iniziale. Tuttavia essendo $f$ continua in $\Omega$ il teorema di Peano assicura l'esistenza della soluzione.Supposto $y\ne0,$ cosa lecita in quanto in un intorno del punto iniziale $1$ la variabile $y$ è sicuramente diversa da zero essendo $ y(1)=1,$ dividiamo ambo i membri dell'equazione differenziale per $y^{1/2}:$
\begin{align*}
\frac{y'(x)}{y^{1/2}(x)}= \frac{4}{ x}\cdot y^{1/2}(x) +x;\quad\mbox{posto}\quad v(x)= y^{1/2}(x)\quad\Rightarrow\quad v'(x)= \frac{y(x)}{2 y^{1/2}(x)}
\end{align*}
il problema di Cauchy assegnato si trasforma nel problema seguente:
\begin{align*}
\begin{cases}
2v'(x)=\displaystyle \frac{4}{ x}\cdot v (x) +x, \\
v(1)=1
\end{cases},
\end{align*}
che è un problema di Cauchy relativo ad una equazione differenzaile del primo lineare a coefficienti non costanti, che scritta in forma normale risulta:
l\begin{align*}
v'(x) -\frac{2}{ x}\cdot v (x) =\frac{x}{2},\quad\mbox{con}\quad a(x)=-\frac{2}{ x},\qquad b(x)= x;
\end{align*}
moltiplicando ambo i membri per $e^{A(x)}=e^{\int a(x)dx}= 1/x^2,$ ed integrando si ottiene
\begin{align*}
\int v'(x) \cdot \frac{1}{x^2}-\frac{2}{ x}\cdot\frac{1}{x^2} \cdot v (x) \,\,dx= \int \frac{1}{ 2x}\cdot\,\,dx\quad &\Leftrightarrow\quad \int \left(v (x) \cdot \frac{1}{x^2}\right)' \,\,dx= \frac { \ln| x|}{2}+c\\
& \Leftrightarrow\quad v (x) \cdot \frac{1}{x^2} =\frac { \ln| x|}{2}+c\\
& \Leftrightarrow\quad v (x) = x^2\frac { \ln| x|}{2}+cx^2\\
& \Leftrightarrow\quad y (x)= \left(x^2\frac { \ln| x|}{2}+cx^2\right)^2 \\
y(1)=1 \quad & \Leftrightarrow\quad 1= \pm c^2\quad \Leftrightarrow\quad c=\pm1\\
& \Leftrightarrow\quad y _1(x)= \left(x^2\frac { \ln| x|}{2}+ x^2\right)^2\quad y _2(x)= \left(x^2\frac { \ln| x|}{2}-x^2\right)^2.
\end{align*}
Quindi non ci sono soluzioni del terzo tipo?
@ Noisemaker: Dato che la condizione di Lipschitz è soddisfatta intorno al punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,1)\), il teorema di esistenza ed unicità locale si applica eccome! 
@ SimonaVi: A quanto ho capito le tue cosiddette "soluzioni di terza specie" sono integrali che si ottengono raccordando soluzioni stazionarie (cioé costanti) con soluzioni nonstazionarie.
La possibilità di costruirle, se capisco bene, è legata a fenomeni di non-unicità della soluzione; quindi l'esistenza di tali soluzioni è legata, ad esempio, al venir meno della condizione di Lipschitz nel secondo membro per EDO in forma normale, oppure all'esistenza di punti singolari per la funzione che definisce la EDO implicita per EDO in forma implicita (e.g., l'equazione in forma non normale \(\big( y^\prime (x)\big)^2 + y^2(x) -1=0\) ha soluzioni del tipo che citi).
Il tuo testo non riporta esempi in proposito?
***
Per venire al problema, bisogna fare un po' di valutazioni "serie" prima di affermare o smentire l'esistenza di soluzioni del tipo che citi.
Partiamo del principio, cioé dallo studio del PdC:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
y^\prime (x) = \frac{4}{x}\ y(x) + x\ \sqrt{y(x)} \\
y(1) = 1
\end{cases}
\]
La EDO è in forma normale, con secondo membro:
\[
f(x,y) := \frac{4}{x}\ y + x\ \sqrt{y}
\]
definito in \(\Omega := \{ (x,y):\ x\neq 0 \text{ e } y\geq 0\}\), continua in \(\Omega\) e di classe \(C^\infty\) nell'interno di \(\Omega\).
Il PdC ha unica soluzione locale, cioé intorno al punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,1)\) e tale soluzione è \(>0\) e di classe \(C^\infty\); tale soluzione può essere prolungata fino a toccare il bordo di \(\Omega\) e non oltre.
Detto \(y(x)\) il prolungamento della soluzione locale il cui grafico cade internamente ad \(\Omega\), esso è definito in un intervallo \(]X_-,X^+[\) con \(0positivi, i.e. \(y(x)>0\) in \(]X_-,X^+[\).
Dato che \(f(x,y)>0\) per \(x,y>0\), la derivata del prolungamento \(y(x)\) è stettamente positiva in \(]X_-,X^+[\) e pertanto la \(y(x;1,1)\) è strettamente crescente, sicché entrambi i limiti \(\lim_{x\to X_-} y(x;1,1)\) e \(\lim_{x\to X^+} y(x)\) esistono (per regolarità delle funzioni monotone).
Da quanto detto segue che se \(X_->0\) allora è necessariamente \(\lim_{x\to X_-} y(x)=0\) (poiché il grafico di \(y(x)\) deve "sbattere" sulla frontiera di \(\Omega\)): in questo caso "c'è spazio" per far spuntare una soluzione massimale del tipo che citi, poiché basta raccordare \(y(x)\) in \(X_-\) con la soluzione stazionaria della EDO, che è la funzione identicamente nulla.
Altrimenti, se \(X_-=0\) allora il grafico di \(y(x)\) "sbatte" sulla parte verticale della frontiera di \(\Omega\) e "non c'è spazio" per fare giochetti di raccordo e la soluzione massimale del tuo PdC è una soluzione di tipo usuale e coincide con \(y(x)\).
Conseguentemente, per determinare la categoria cui appartiene la soluzione massimale bisogna determinare esplicitamente \(X_-\); dato che la EDO si risolve per quadrature, ciò può essere fatto calcolando direttamente la soluzione \(y(x)\).
Dato che in \(]X_-,X^+[\) la soluzione massimale è positiva, possiamo dividere m.a.m. la EDO per \(\sqrt{y(x)}\) ed ottenere:
\[
\frac{y^\prime (x)}{\sqrt{y(x)}} = \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + x\; ;
\]
introdotta la nuova incognita \(u(x):=\sqrt{y(x)}\), la EDO precedente si riscrive come:
\[
2\ u^\prime (x) = \frac{4}{x}\ u(x) + x
\]
alla quale va accoppiata la condizione \(u(1)=\sqrt{y(1)}=1\); perciò la \(u\) soddisfa il PdC ausiliario:
\[
\tag{2}
\begin{cases}
u^\prime (x) - \frac{2}{x}\ u(x) = \frac{1}{2}\ x\\
u(1)=1\; .
\end{cases}
\]
Dato che \(x>0\) (perché stiamo considerando \(x\in ]X_-,X^+[\subset ]0,\infty[\)), possiamo senza dubbio moltiplicare la EDO m.a.m. per \(1/x^2\) ottenendo:
\[
\frac{1}{x^2}\ u^\prime (x) - \frac{2}{x^3}\ u(x) = \frac{1}{2x} \qquad \Leftrightarrow \qquad \left( \frac{1}{x^2}\ u(x)\right)^\prime = \frac{1}{2x}
\]
dalla quale, integrando sull'intervallo di estremi \(1\) ed \(x\) e tenendo presente la condizione iniziale di (2), ricaviamo:
\[
\frac{1}{x^2}\ u(x) - 1 = \int_1^x \left( \frac{1}{t^2}\ u(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_1^x \frac{1}{2t}\ \text{d} t = \frac{1}{2}\ \ln x\; ;
\]
risolvendo rispetto ad \(u(x)\) troviamo infine:
\[
u(x) = x^2\ \left( 1+ \ln \sqrt{x}\right)\; .
\]
Usando a ritroso la sostituzione, i.e. tenendo presente che \(y(x)=u^2(x)\), ricaviamo che la soluzione del PdC (1) è del tipo:
\[
y(x) = x^4\ \left( 1+ \ln \sqrt{x}\right)^2
\]
definita in un certo intervallo \(]X_-,X^+[\subset ]0,\infty[\) nel quale essa risulta positiva.
Per determinare esplicitamente \(X_-\) ed \(X_+\) osserviamo che risulta:
\[
y(x) > 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1+ \ln \sqrt{x} \neq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x \neq \frac{1}{e^2}
\]
e che, essendo \(y(x)\) strettamente crescente dove positiva, deve aversi \(X_-=\frac{1}{e^2}\) ed \(X_+=\infty\).
Ora possiamo renderci conto che effettivamente accade quanto preannunciato sopra: invero, si ha:
\[
\lim_{x\to 1/e^2} y(x) = \lim_{x\to 1/e^2} x^4\ \left( 1+ \ln \sqrt{x}\right)^2 =0
\]
e dalla EDO segue che:
\[
\lim_{x\to 1/e^2} y^\prime (x) = \lim_{x\to 1/e^2} \frac{4}{x}\ y(x) + x\ \sqrt{y(x)} = 0\; ,
\]
e ciò importa che la soluzione \(y(x)\) si può prolungare a sinistra di \(1/e^2\) con regolarità \(C^1\) ponendo:
\[
\begin{split}
y(x;1,1) &= \begin{cases} y(x) &\text{, se } x>1/e^2 \\ 0 &\text{, se } 0
0 &\text{, se } 0
\end{split}
\]
La funzione \(y(x;1,1)\), che è la soluzione massimale del PdC (1), è del tipo che tu chiami "di terza categoria", perché si ottiene raccordando una soluzione nonstazionaria con una stazionaria.
Inoltre, essa è definita e di classe \(C^1(]0,\infty[)\), nonché di classe \(C^\infty\) in \(]0,1/e^2[\) ed \(]1/e^2,\infty[\).
A sinistra di \(1/e^2\) si ha evidentemente \(y^{\prime \prime} (x;1,1)=0\); d'altra parte, derivando la EDO in (1), troviamo che:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime} (x;1,1) &= -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \frac{4}{x}\ y^\prime (x) + \frac{x}{2 \sqrt{y(x)}}\ y^\prime (x)\\
&= -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \left( \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + \frac{x}{2}\right)\ \frac{y^\prime (x)}{\sqrt{y(x)}}\\
&= -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \left( \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + \frac{x}{2}\right)\ \left(\frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + x\right)
\end{split}
\]
a destra di \(1/e^2\), sicché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to (1/e^2)^+} y^{\prime \prime}(x;1,1) &= \lim_{x\to (1/e^2)^+} -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \left( \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + \frac{x}{2}\right)\ \left(\frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + x\right) \\
&= 0 + 0 + \left( 0+ \frac{1}{2e^2}\right)\ \left( 0+ \frac{1}{e^2}\right) \\
&= \frac{1}{2e^4}\; ;
\end{split}
\]
da ciò segue che la derivata seconda di \(y(x;1,1)\) non è continua in \(1/e^2\) e perciò non possiamo ottenere più regolarità di quanto già detto.
@ SimonaVi: A quanto ho capito le tue cosiddette "soluzioni di terza specie" sono integrali che si ottengono raccordando soluzioni stazionarie (cioé costanti) con soluzioni nonstazionarie.
La possibilità di costruirle, se capisco bene, è legata a fenomeni di non-unicità della soluzione; quindi l'esistenza di tali soluzioni è legata, ad esempio, al venir meno della condizione di Lipschitz nel secondo membro per EDO in forma normale, oppure all'esistenza di punti singolari per la funzione che definisce la EDO implicita per EDO in forma implicita (e.g., l'equazione in forma non normale \(\big( y^\prime (x)\big)^2 + y^2(x) -1=0\) ha soluzioni del tipo che citi).
Il tuo testo non riporta esempi in proposito?
***
Per venire al problema, bisogna fare un po' di valutazioni "serie" prima di affermare o smentire l'esistenza di soluzioni del tipo che citi.
Partiamo del principio, cioé dallo studio del PdC:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
y^\prime (x) = \frac{4}{x}\ y(x) + x\ \sqrt{y(x)} \\
y(1) = 1
\end{cases}
\]
La EDO è in forma normale, con secondo membro:
\[
f(x,y) := \frac{4}{x}\ y + x\ \sqrt{y}
\]
definito in \(\Omega := \{ (x,y):\ x\neq 0 \text{ e } y\geq 0\}\), continua in \(\Omega\) e di classe \(C^\infty\) nell'interno di \(\Omega\).
Il PdC ha unica soluzione locale, cioé intorno al punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,1)\) e tale soluzione è \(>0\) e di classe \(C^\infty\); tale soluzione può essere prolungata fino a toccare il bordo di \(\Omega\) e non oltre.
Detto \(y(x)\) il prolungamento della soluzione locale il cui grafico cade internamente ad \(\Omega\), esso è definito in un intervallo \(]X_-,X^+[\) con \(0
Dato che \(f(x,y)>0\) per \(x,y>0\), la derivata del prolungamento \(y(x)\) è stettamente positiva in \(]X_-,X^+[\) e pertanto la \(y(x;1,1)\) è strettamente crescente, sicché entrambi i limiti \(\lim_{x\to X_-} y(x;1,1)\) e \(\lim_{x\to X^+} y(x)\) esistono (per regolarità delle funzioni monotone).
Da quanto detto segue che se \(X_->0\) allora è necessariamente \(\lim_{x\to X_-} y(x)=0\) (poiché il grafico di \(y(x)\) deve "sbattere" sulla frontiera di \(\Omega\)): in questo caso "c'è spazio" per far spuntare una soluzione massimale del tipo che citi, poiché basta raccordare \(y(x)\) in \(X_-\) con la soluzione stazionaria della EDO, che è la funzione identicamente nulla.
Altrimenti, se \(X_-=0\) allora il grafico di \(y(x)\) "sbatte" sulla parte verticale della frontiera di \(\Omega\) e "non c'è spazio" per fare giochetti di raccordo e la soluzione massimale del tuo PdC è una soluzione di tipo usuale e coincide con \(y(x)\).
Conseguentemente, per determinare la categoria cui appartiene la soluzione massimale bisogna determinare esplicitamente \(X_-\); dato che la EDO si risolve per quadrature, ciò può essere fatto calcolando direttamente la soluzione \(y(x)\).
Dato che in \(]X_-,X^+[\) la soluzione massimale è positiva, possiamo dividere m.a.m. la EDO per \(\sqrt{y(x)}\) ed ottenere:
\[
\frac{y^\prime (x)}{\sqrt{y(x)}} = \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + x\; ;
\]
introdotta la nuova incognita \(u(x):=\sqrt{y(x)}\), la EDO precedente si riscrive come:
\[
2\ u^\prime (x) = \frac{4}{x}\ u(x) + x
\]
alla quale va accoppiata la condizione \(u(1)=\sqrt{y(1)}=1\); perciò la \(u\) soddisfa il PdC ausiliario:
\[
\tag{2}
\begin{cases}
u^\prime (x) - \frac{2}{x}\ u(x) = \frac{1}{2}\ x\\
u(1)=1\; .
\end{cases}
\]
Dato che \(x>0\) (perché stiamo considerando \(x\in ]X_-,X^+[\subset ]0,\infty[\)), possiamo senza dubbio moltiplicare la EDO m.a.m. per \(1/x^2\) ottenendo:
\[
\frac{1}{x^2}\ u^\prime (x) - \frac{2}{x^3}\ u(x) = \frac{1}{2x} \qquad \Leftrightarrow \qquad \left( \frac{1}{x^2}\ u(x)\right)^\prime = \frac{1}{2x}
\]
dalla quale, integrando sull'intervallo di estremi \(1\) ed \(x\) e tenendo presente la condizione iniziale di (2), ricaviamo:
\[
\frac{1}{x^2}\ u(x) - 1 = \int_1^x \left( \frac{1}{t^2}\ u(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_1^x \frac{1}{2t}\ \text{d} t = \frac{1}{2}\ \ln x\; ;
\]
risolvendo rispetto ad \(u(x)\) troviamo infine:
\[
u(x) = x^2\ \left( 1+ \ln \sqrt{x}\right)\; .
\]
Usando a ritroso la sostituzione, i.e. tenendo presente che \(y(x)=u^2(x)\), ricaviamo che la soluzione del PdC (1) è del tipo:
\[
y(x) = x^4\ \left( 1+ \ln \sqrt{x}\right)^2
\]
definita in un certo intervallo \(]X_-,X^+[\subset ]0,\infty[\) nel quale essa risulta positiva.
Per determinare esplicitamente \(X_-\) ed \(X_+\) osserviamo che risulta:
\[
y(x) > 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1+ \ln \sqrt{x} \neq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad x \neq \frac{1}{e^2}
\]
e che, essendo \(y(x)\) strettamente crescente dove positiva, deve aversi \(X_-=\frac{1}{e^2}\) ed \(X_+=\infty\).
Ora possiamo renderci conto che effettivamente accade quanto preannunciato sopra: invero, si ha:
\[
\lim_{x\to 1/e^2} y(x) = \lim_{x\to 1/e^2} x^4\ \left( 1+ \ln \sqrt{x}\right)^2 =0
\]
e dalla EDO segue che:
\[
\lim_{x\to 1/e^2} y^\prime (x) = \lim_{x\to 1/e^2} \frac{4}{x}\ y(x) + x\ \sqrt{y(x)} = 0\; ,
\]
e ciò importa che la soluzione \(y(x)\) si può prolungare a sinistra di \(1/e^2\) con regolarità \(C^1\) ponendo:
\[
\begin{split}
y(x;1,1) &= \begin{cases} y(x) &\text{, se } x>1/e^2 \\ 0 &\text{, se } 0
0 &\text{, se } 0
\end{split}
\]
La funzione \(y(x;1,1)\), che è la soluzione massimale del PdC (1), è del tipo che tu chiami "di terza categoria", perché si ottiene raccordando una soluzione nonstazionaria con una stazionaria.
Inoltre, essa è definita e di classe \(C^1(]0,\infty[)\), nonché di classe \(C^\infty\) in \(]0,1/e^2[\) ed \(]1/e^2,\infty[\).
A sinistra di \(1/e^2\) si ha evidentemente \(y^{\prime \prime} (x;1,1)=0\); d'altra parte, derivando la EDO in (1), troviamo che:
\[
\begin{split}
y^{\prime \prime} (x;1,1) &= -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \frac{4}{x}\ y^\prime (x) + \frac{x}{2 \sqrt{y(x)}}\ y^\prime (x)\\
&= -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \left( \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + \frac{x}{2}\right)\ \frac{y^\prime (x)}{\sqrt{y(x)}}\\
&= -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \left( \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + \frac{x}{2}\right)\ \left(\frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + x\right)
\end{split}
\]
a destra di \(1/e^2\), sicché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to (1/e^2)^+} y^{\prime \prime}(x;1,1) &= \lim_{x\to (1/e^2)^+} -\frac{4}{x^2}\ y(x) + \sqrt{y(x)} + \left( \frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + \frac{x}{2}\right)\ \left(\frac{4}{x}\ \sqrt{y(x)} + x\right) \\
&= 0 + 0 + \left( 0+ \frac{1}{2e^2}\right)\ \left( 0+ \frac{1}{e^2}\right) \\
&= \frac{1}{2e^4}\; ;
\end{split}
\]
da ciò segue che la derivata seconda di \(y(x;1,1)\) non è continua in \(1/e^2\) e perciò non possiamo ottenere più regolarità di quanto già detto.
"gugo82":
@ Noisemaker: Dato che la condizione di Lipschitz è soddisfatta intorno al punto iniziale \((x_0,y_0)=(1,1)\), il teorema di esistenza ed unicità locale si applica eccome!
e si ... ho scritto tutto avendo in testa $x_0=0$ ... non so perchè!
(forse mi piaceva di più!)
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