Equazioni differenziali secondo ordine a coeff. costanti
Salve,
Nelle equazioni differenziali del 2o ordine a coeff costanti , nel coso in cui gli autovalori dell'omogenea associata
abbia le radici complesse e coniugate , l'integrale generale diventa $ Y = e^(ax)* (C1cos(Bx)+C2Sen(Bx))$.
Ma qual'è il significato matematico di C1 e C2? Per esempio nel problema di Cauchy avendo le condizioni iniziali
es . Y(0)=0 e Y'(0)=1 ho capito che metto a sistema l'integrale generale con la derivata prima del''integrale
generale stesso , impostando le condizioni iniziali posso ricavare i parametri C1 e C2 e infine trovo l'integrale
particolare , ma non mi è chiaro a cosa servono.
Grazie per l'aiuto
Ben
Nelle equazioni differenziali del 2o ordine a coeff costanti , nel coso in cui gli autovalori dell'omogenea associata
abbia le radici complesse e coniugate , l'integrale generale diventa $ Y = e^(ax)* (C1cos(Bx)+C2Sen(Bx))$.
Ma qual'è il significato matematico di C1 e C2? Per esempio nel problema di Cauchy avendo le condizioni iniziali
es . Y(0)=0 e Y'(0)=1 ho capito che metto a sistema l'integrale generale con la derivata prima del''integrale
generale stesso , impostando le condizioni iniziali posso ricavare i parametri C1 e C2 e infine trovo l'integrale
particolare , ma non mi è chiaro a cosa servono.
Grazie per l'aiuto
Ben
Risposte
"ben":
nel coso in cui gli autovalori dell'omogenea associata
abbia le radici complesse e coniugate
L'uso di $C_1$ e $C_2$ si ha sempre, indipendentemente da come sono le radici (reali o complesse, distinte o no).
E la ragione del loro uso sta nel fatto che l'insieme delle soluzioni (il c.d. "integrale generale") dell'omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione 2 perché 2 è l'ordine dell'equazione differenziale.
Che l'integrale generale sia uno spazio vettoriale dipende dal fatto che l'equazione è lineare ed omogenea.