Equazioni differenziali secondo ordine

[fabyana92]

Salve a tutti,
sto preparando l'esame di analisi matematica 2 e svolgendo le varie prove d'esame mi è capitata questa equazione differenziale che mi ha messo letteralmente in crisi. Spero che qualcuno possa aiutarmi, sono davvero esasperata. Grazie a tutti in anticipo.
Ecco l'equazione in questione: $y''=(1+y')^3$

[Noisemaker]

Prova a porre
\[y'(x)=z(y(x)\quad\Leftrightarrow\quad y''(x)=z'(y(x))y'(x).\]

[fabyana92]

E in questo caso poi come si procederebbe?

[stormy1]

"Fabyana92":Salve a tutti,
sto preparando l'esame di analisi matematica 2 e svolgendo le varie prove d'esame mi è capitata questa equazione differenziale che mi ha messo letteralmente in crisi. Spero che qualcuno possa aiutarmi, sono davvero esasperata. Grazie a tutti in anticipo.
Ecco l'equazione in questione: $ y''=(1+y')^3 $

poni $z=y'$
l'equazione diventa $z'=(1+z)^3$ che è un'equazione differenziale del 1° ordine a variabili separabili
una volta determinata $z$ puoi calcolare $y$ ricordando che $y'=z$

[fabyana92]

allora, facendo in questo modo scrivo l'equazione n questo modo
$ (z')/(1+z)^3 =1 $
Poi integrando entrambi i membri ottengo:
$1/(1+z)^4=-4x$
ora se andassi a sostituire a $z$ la $y'$ mi viene una cosa strana.
Scusami mi sento tanto stupida a fare tante domande.

[stormy1]

a dire il vero,integrando a me viene
$1/(1+z)^2=-2x+c$
esplicita la $z$ e soltanto dopo ad essa sostituisci $y'$

[fabyana92]

oddio è vero! grazie 1000!!!