Equazioni differenziali risonanza
Salve a tutti ho una domanda teorica sulle eq differenziali del secondo ordine, in alcuni casi nella soluzione particolare si mette una variabile moltiplicativa (dovuta alla risonanza? ma cosa vuol dire?) qual è il suo significato fisico?
Esempio esplicativo
y"+4y=x-cos(2x)
si usa sovrapposizione, ma la soluzione particolare relativa a cos(2x) è
y_p: t(C1sen(2t)+C2cos(2t))
Qual è il significato di quel t davanti?
Esempio esplicativo
y"+4y=x-cos(2x)
si usa sovrapposizione, ma la soluzione particolare relativa a cos(2x) è
y_p: t(C1sen(2t)+C2cos(2t))
Qual è il significato di quel t davanti?
Risposte
Ciao leo197,
Benvenuto sul forum!
Non è che si capisca molto della tua domanda, anche perché prima scrivi $x$ poi $t$...
Forse è anche per questo che finora non hai ricevuto risposte...
Supponendo che la variabile indipendente sia $t$, anche perché in questi casi ha il significato fisico di un tempo, la soluzione dell'equazione differenziale
$y'' + 4y = t - cos(2t) $
è la seguente:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) = c_1 sin(2t) + c_2 cos(2t) + t/4 [1 - sin(2t)] - 1/8 cos(2t) = $
$ = (c_1 - t/4) sin(2t) + (c_2 - 1/8)cos(2t) + t/4 = 1/4 (4c_1 - t) sin(2t) + (c_2 - 1/8)cos(2t) + t/4 = $
$ = 1/4 (C_1 - t) sin(2t) + C_2 cos(2t) + t/4 $
Il numero che sta davanti alla $t$ di solito è la pulsazione $\omega = 2\pi f $
Nel caso in esame $\omega = 2 $
Benvenuto sul forum!
Non è che si capisca molto della tua domanda, anche perché prima scrivi $x$ poi $t$...
Forse è anche per questo che finora non hai ricevuto risposte...
Supponendo che la variabile indipendente sia $t$, anche perché in questi casi ha il significato fisico di un tempo, la soluzione dell'equazione differenziale
$y'' + 4y = t - cos(2t) $
è la seguente:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) = c_1 sin(2t) + c_2 cos(2t) + t/4 [1 - sin(2t)] - 1/8 cos(2t) = $
$ = (c_1 - t/4) sin(2t) + (c_2 - 1/8)cos(2t) + t/4 = 1/4 (4c_1 - t) sin(2t) + (c_2 - 1/8)cos(2t) + t/4 = $
$ = 1/4 (C_1 - t) sin(2t) + C_2 cos(2t) + t/4 $
Il numero che sta davanti alla $t$ di solito è la pulsazione $\omega = 2\pi f $
Nel caso in esame $\omega = 2 $
Prova a risolvere il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime}(t) + 4 y(t) = f(t)\\
y(0)=0\\
y^\prime(0)=0
\end{cases}
\]
con due termini noti diversi:
\[
f(t)= \cos t \qquad \text{e}\qquad f(t)=\cos 2t\;.
\]
Nel primo caso trovi la soluzione:
\[
y(t)= \frac{1}{6}\ \Big( 2\cos t + 3\sin2t -2\cos 2t\Big)
\]
che ha grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("0.5*sin(2*x)+0.333*cos(x)-0.333*cos(2*x)",0,17);[/asvg]
mentre nel secondo:
\[
y(t)= \frac{1}{4}\ (t+2) \sin 2t
\]
che ha grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="dodgerblue";
strokewidth=2;
plot("0.25*sin(2*x)*(x+2)",0,17);[/asvg]
Qual è, secondo te, la differenza fisica tra i due?
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime}(t) + 4 y(t) = f(t)\\
y(0)=0\\
y^\prime(0)=0
\end{cases}
\]
con due termini noti diversi:
\[
f(t)= \cos t \qquad \text{e}\qquad f(t)=\cos 2t\;.
\]
Nel primo caso trovi la soluzione:
\[
y(t)= \frac{1}{6}\ \Big( 2\cos t + 3\sin2t -2\cos 2t\Big)
\]
che ha grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="red";
strokewidth=2;
plot("0.5*sin(2*x)+0.333*cos(x)-0.333*cos(2*x)",0,17);[/asvg]
mentre nel secondo:
\[
y(t)= \frac{1}{4}\ (t+2) \sin 2t
\]
che ha grafico:
[asvg]xmin=0; xmax=16; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="dodgerblue";
strokewidth=2;
plot("0.25*sin(2*x)*(x+2)",0,17);[/asvg]
Qual è, secondo te, la differenza fisica tra i due?
Sicuramente il secondo è un grafico risonante, infatti quando la frequenza di cos(2t) ovvero 2 coincide con la parte immaginaria della soluzione dell'omogenea associata all' eq differenziale, trovata nella forma $ alpha +- iota beta $, inoltre alfa è 0 o comunque nel caso generale uguale ad $ alpha $ del termine $ e^(alpha t) $ (non presente nel nostro esempio) si verifica questo effetto.
Quindi la soluzione particolare (questione su cui è incentrata la domanda )
Sarà nella forma $ y_p= t(C_1sen(beta t)+C_2cos(beta t)) $
Ma il t che viene messo davanti essendo un fattore moltiplicativo, perchè non esce fuori risolvendo semplicemente la soluzione particolare $ y_p= (C_1sen(beta t)+C_2cos(beta t)) $ inglobato nelle costanti $ C_1 , C_2 $?
Probabilmente come è facile vedere dal secondo grafico, è vero che modifica l'ampiezza, ma in funzione del tempo , quindi l'ampiezza base diciamo è data da $ C_1 , C_2 $ mentre poi aumenta con l'aumentare di t , c'è un teorema che giustifica questa scelta della soluzione particolare con il t?
Grazie delle repentine risposte di entrambi comunque.
Quindi la soluzione particolare (questione su cui è incentrata la domanda )
Sarà nella forma $ y_p= t(C_1sen(beta t)+C_2cos(beta t)) $
Ma il t che viene messo davanti essendo un fattore moltiplicativo, perchè non esce fuori risolvendo semplicemente la soluzione particolare $ y_p= (C_1sen(beta t)+C_2cos(beta t)) $ inglobato nelle costanti $ C_1 , C_2 $?
Probabilmente come è facile vedere dal secondo grafico, è vero che modifica l'ampiezza, ma in funzione del tempo , quindi l'ampiezza base diciamo è data da $ C_1 , C_2 $ mentre poi aumenta con l'aumentare di t , c'è un teorema che giustifica questa scelta della soluzione particolare con il t?
Grazie delle repentine risposte di entrambi comunque.
Si chiama metodo di somiglianza.
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