Equazioni differenziali parziali - esercizio

[*missdreamer*12]

Ciao a tutti, posto un esercizio che non so fare:

1. Dimostrare che esiste al più una soluzione $u \in C^2$ del problema $u_t-u_{x x}=0$ per $00$, tale che date le seguenti funzioni continue $f,g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ si abbia $u(x,0)=f(x)$, $u(0,t)=g(t)$ e $u(L,t)=h(t)$

Questo è il primo punto di un esercizio in cui già mi blocco! Magari facendo questo riuscirei poi a capire gli altri! Grazie dell'aiuto

[Camillo]

Vediamo se c'è qualcuno che voglia risolvere questo interessante esercizio

[irenze]

conosci il principio di massimo per l'equazione del calore? (perché di equazione del calore si tratta, naturalmente...)

[ViciousGoblin]

"irenze":conosci il principio di massimo per l'equazione del calore? (perché di equazione del calore si tratta, naturalmente...)

Non direi dato che c'è solo la derivat aprima in $x$

[*missdreamer*12]

Scusatemi, mi ero assentata da internet e oggi riguardando il mio messaggio mi sono accorta che nonostante avessi messo u_{xx} quello che is vedeva era solo u_x. Ora ho corretto l'esercizio. Sì, si tratta di equazione del calore. Infatti io avevo un po' studiato come trovare la soluzione dell'equazione del calore, ma con dati iniziali diversi. Per dimostrare questo esercizio mi era venuto in mente di supporre che esistano due funzioni $u_1,u_2$ che soddisfano sia l'equazione che le condizioni iniziali. A questo punto potrei considerare la funzione data da $w:=u_1-u_2$ e mi piacerebbe poter concludere che $w$ è costantemente nulla, ma non ci riesco. In quanto ho le seguenti condizioni:

1. $w_t-w_{x x}=0$
2. $w(x,0)=0$ per ogni $x$
3. $w(0,t)=w(L,t)=0$ per ogni $t$

Ma da queste non riesco a concludere. Ho provato a risolvere la eq. 1. utilizzando la separazione di variabile e da lì concludo che se $w(x,t)=f(x)g(t)$ allora $w=0$ ma potrebbero esistere soluzioni non esprimibili in questo modo!

Cosa mi consigliereste?

[*missdreamer*12]

Tanto inizio a postare anche la seconda parte dell'esercizio... perchè anche questa mi resta oscura... uff..

devo dimostrare, che presa la soluzione $u$ del punto precedente, essa dipende in modo continuo dai dati iniziali. Adesso, quello che io immagino è che si tratti di dimostrare che, per ogni $T>0$, $\epsilon>0$, e per ogni funzione continua $f',g',h'$ tale che $||f-f'||_{C[0,L]}<= \epsilon$, $||g-g'||_{C[0,L]}<= \epsilon$, $||h-h'||_{C[0,L]}<= \epsilon$, esiste un $\delta>0$ tale che $|u-u'|<= \delta$ su $[0,L]x[0,T]$, per le soluzioni $u'$ con i rispettivi dati iniziali indicati sempre con '. Giusto? però anche qui non so come procedere!

Vi ringrazio per la pazienza!

[gugo82]

"*missdreamer*":Ciao a tutti, posto un esercizio che non so fare:

1. Dimostrare che esiste al più una soluzione $u \in C^2$ del problema $u_t-u_{x x}=0$ per $00$, tale che date le seguenti funzioni continue $f,g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ si abbia $u(x,0)=f(x)$, $u(0,t)=g(t)$ e $u(L,t)=h(t)$

Questo è il primo punto di un esercizio in cui già mi blocco! Magari facendo questo riuscirei poi a capire gli altri! Grazie dell'aiuto

Quella dell'esercizio è un'equazione del calore in dimensione uno.
Le soluzioni di tale equazione verificano il seguente Principio del Massimo (quasi del tutto analogo a quello per le funzioni armoniche):

Siano $U subset RR^n$ un aperto limitato, $T>0$ ed infine $u in C_1^2(U times ]0,T])cap C(bar(U) times [0,T])$ una soluzione dell'equazione del calore:

$u_t-u_(x x)=0, " in " U times ]0,T[ quad$ .

Risulta $max_(bar(U) times [0,T]) u=max_(\partial U times [0,T]) u$ (questo è il Principio del massimo).

Se inoltre $U$ è connesso allora l'esistenza di un punto $(x_0,t_0) in U times ]0,T]$ tale che $u(x_0,t_0)=max_(bar(U) times [0,T]) u$ implica che $u$ è costante in $bar(U) times [0,T]$ (questo è invece il Principio del massimo forte)

Questo principio di massimo può essere applicato per dimostrare l'unicità della soluzione del problema ai valori iniziali per l'equazione del calore in $RR^n$: infatti, fissati i dati iniziali $f in C(bar(U))$ e $g in C(\partial U times [0,T])$, se $u_1,u_2 in C_1^2(U times ]0,T])cap C(bar(U) times [0,T])$ risolvono ambedue il problema:

$u_t-u_(x x)=0, " in " U times ]0,T[
$u=f, " su " bar(U) times {0}
$u=g, " su " \partial U times [0,T]

allora la loro differenza $v=u_2-u_1 in C_1^2(U times ]0,T])cap C(bar(U) times [0,T])$ risolve il problema con dati iniziali omogenei:

$u_t-u_(x x)=0, " in " U times ]0,T[
$u=0, " su " bar(U) times {0}
$u=0, " su " \partial U times [0,T]

ed il principio del massimo implica $max_(bar(U) times [0,T]) v=0$ (perchè $0$ è l'unico valore assunto da $v$); d'altra parte anche $-v$ risolve lo stesso problema con dati iniziali omogenei e perciò si ha $min_(bar(U) times [0,T]) v=-max_(bar(U) times [0,T]) (-v)=0$; ne consegue che $v=0$ identicamente in $bar(U) times [0,T]$ e pertanto $u_2=u_1$.

Ora se hai un problema "non limitato" nella variabile temporale (ossia con $t$ che può variare in tutto $[0,+oo[$ invece che in $[0,T]$) è evidente che puoi fissare arbitrariamente un $T>0$ e ragionare come sopra per dimostrare che due soluzioni $u_1,u_2$ del tuo problema coincidono in $bar(U) times [0,T]$; il fatto che $bar(U) times [0,+oo[=\bigcup_(T>0) bar(U) times [0,T]$ e l'arbitrarietà nella scelta di $T in ]0,+oo[$ ti consentono di affermare che $u_2=u_1$ in tutto $bar(U) times [0,+oo[$, che è il risultato di unicità che chiedevi.

[gugo82]

"*missdreamer*":Tanto inizio a postare anche la seconda parte dell'esercizio... perchè anche questa mi resta oscura... uff..

devo dimostrare, che presa la soluzione $u$ del punto precedente, essa dipende in modo continuo dai dati iniziali. Adesso, quello che io immagino è che si tratti di dimostrare che, per ogni $T>0$, $\epsilon>0$, e per ogni funzione continua $f',g',h'$ tale che $||f-f'||_{C[0,L]}<= \epsilon$, $||g-g'||_{C[0,L]}<= \epsilon$, $||h-h'||_{C[0,L]}<= \epsilon$, esiste un $\delta>0$ tale che $|u-u'|<= \delta$ su $[0,L]x[0,T]$, per le soluzioni $u'$ con i rispettivi dati iniziali indicati sempre con '. Giusto? però anche qui non so come procedere!

Vi ringrazio per la pazienza!

Basta applicare di nuovo il Principio del massimo: fissati i dati iniziali $f,f' in C(bar(U))$ e $g,g' in C(\partial U times [0,+oo[)$ in modo che $||f-f'||_ooleepsilon$ e $||g-g'||_ooleepsilon$ e dette $u,u'$ le soluzioni dei problemi ai valori iniziali relativi all'eq. del calore in $bar(U) times [+oo[$ con dati $f,g$ ed $f',g'$, la differenza $v=u-u'$ risolve il problema:

$u_t- u_(x x)=0, " in " U times ]0,+oo[
$u=f-f', " su " bar(U) times{0}
$u=g-g', " su " \partial U times [0,+oo[

fissato $T>0$ hai $max_(bar(U) times [0,T]) vle max{max_(bar(U)) f-f', max_(\partial U times [0,T]) g-g'} le epsilon$; analogamente $-v$ risolve il problema:

$u_t- u_(x x)=0, " in " U times ]0,+oo[
$u=f'-f, " su " bar(U) times{0}
$u=g'-g, " su " \partial U times [0,+oo[

e per fissato $T>0$ hai $min_(bar(U) times [0,T]) v=-max_(bar(U) times [0,T]) (-v) ge - max{max_(bar(U)) f'-f, max_(\partial U times [0,T]) g'-g} ge -epsilon$; confrontando le due disuguaglianze ti rendi conto che:

$AAT>0, -epsilon le min_(bar(U) times [0,T]) v le max_(bar(U) times [0,T]) v le epsilon quad => quad -epsilon le min_(bar(U) times [0,+oo)) v le max_(bar(U) times [0,+oo)) v le epsilon$

e ciò implica $||u-u'||_oo le epsilon$, come volevi.


P.S.: ovviamente al posto di $U subset RR^n$ aperto puoi mettere il tuo intervallo aperto $]0,L[$.

[*missdreamer*12]

Grazie mille!!! Ho capito! Quello che mi sfuggiva era il primcipio di massimo per l'equazione del calore! Non l'avevo fattto!!!! Grazie!!!

A questo punto, ancora una domanda che è riguardante questo esercizio, dovrei dare dellel delimitazione, senza risolvere il problema, alla soluzione $C^2$ $u(x,t)$ di $u_t=4u_{x x}$ per $00$, soggetta alle relazioni $u(x,0)=x(x-2)e^{-x}$ e $u(0,t)=u(2,t)=0$. Il primo dubbio ch eho è come trattare il fatto che ora nell'equazione c'è quel 4! Mi potresti aiutare? grazie

[gugo82]

"*missdreamer*":Grazie mille!!! Ho capito! Quello che mi sfuggiva era il primcipio di massimo per l'equazione del calore! Non l'avevo fattto!!!! Grazie!!!

A questo punto, ancora una domanda che è riguardante questo esercizio, dovrei dare dellel delimitazione, senza risolvere il problema, alla soluzione $C^2$ $u(x,t)$ di $u_t=4u_{x x}$ per $00$, soggetta alle relazioni $u(x,0)=x(x-2)e^{-x}$ e $u(0,t)=u(2,t)=0$. Il primo dubbio ch eho è come trattare il fatto che ora nell'equazione c'è quel 4! Mi potresti aiutare? grazie

Beh, visto che $4=2^2$ basta la sostituzione $x=y/2$ per eliminarlo: infatti $u_x=1/2u_y quad=>quad u_(x x)=1/4 u_(y y)$. Sostituisci $x=1/2 y$ anche nei dati e applica il Principio del massimo.

Ovviamente, dal Principio del massimo si può ricavare un analogo Principio del minimo e del minimo forte (con $min u$ al posto di $max u$) e conseguentemente un Principio del massimo e del minimo modulo (con $max|u|$ e $min|u|$ al posto di $max u$ e $min u$) proprio come si fa per le funzioni armoniche: pertanto puoi usare i Principi del minimo e del massimo per stimare $u(y,t)$ dal basso e dall'alto, oppure puoi usare il Principio del massimo e minimo modulo per stimare $|u(y,t)|$ sulla frontiera parabolica, ossia sull'insieme $([0,4]times{0}) cup ({0,4} times [0,+oo[)$.

[ViciousGoblin]

Propongo un metodo alternativo per l'unicità che non usa il principio di massimo, ma di converso ha bisogno della disuguaglianza (di Poincaré):

$\int_0^Lu^2(x)dx\leq k\int_0^L\dot u(x)^2 dx$ per ogni funzione "derivabile" e nulla gli estremi

dove $k$ è un'opportuna costante. Qusta disuguaglianza, non è difficile da dimostrare nel caso unidimensionale,
scrivendo $u(x)=\int_0^x\dot u(t)dt$ e usando Hoelder (naturalmente è vera anche in più dimensioni, come tutti gli esperti ben sanno ...).

Supponiamo allora che i dati al bordo e il dato iniziale siano nulli e cerchiamo di dimostrare che la soluzione è nulla.
Moltiplichiamo l'equazione
$\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x)$

per $u(t,x)$ e integriamo in $x$ su $[0,L]$; otteniamo

$\int_0^L\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)u(t,x)dx=\int_0^L\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x)u(t,x) dx$

Utilizzando una derivazione sotto il segno di integrale (che lasciamo al lettore ...), il termine di sinistra si scrive

$\int_0^L\frac{\partial}{\partial t}u(t,x)u(t,x)dx=1/2\int_0^L\frac{\partial}{\partial t}u^2(t,x)dx=1/2\frac{d}{dt}\int_0^Lu^2(t,x)dx$

Per quanto riguarda il termine di destra, usando l'integrazione per parti e la disuguaglianza di Poincarè

$\int_0^L\frac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x)u(t,x) dx=[\frac{\partial}{\partial x}u(t,x)u(t,x)]_0^L-\int_0^L|\frac{\partial}{\partial x}u(t,x)|^2 dx=-\int_0^L|\frac{\partial}{\partial x}u(t,x)|^2 dx\leq -k\int_0^Lu^2(t,x)dx$

Dunque la quantità $E(t):=\int_0^Lu^2(t,x)dx$ verifica la disuguaglianza $\dot E(t)\leq 2k E(t)$, da cui si vede subito che $E(t)\leq E(0)e^{-2kt}$.
Dato che $E(0)=0$ si ha $E(t)=0$ per ogni $t\geq0$ da cui la $u$ è nulla.

Con queste tecniche si può anche affrontare il secondo problema, anche se la strada è lunga.