Equazioni differenziali ordinarie e lipschitzianità locale

[Samuele201]

Salve. Sto studiando il teorema sull'unicità della soluzione del problema di Cauchy per eq differenziali ordinarie e mi è venuto un dubbio. La richiesta che la derivata prima dell'equazione incognità sia localmente lipschitziana rispetto y non è sempre verificata per tutte quelle funzioni esprimibili con una formula?

[gugo82]

Mmmm... Cosa???

Hai un p.d.C. del tipo:

$\{(y'=f(x,y)),(y(x_0)=y_=):} \quad$;

il teorema ti garantisce esistenza ed unicità locali della soluzione a patto che $f$ sia continua e (localmente) lipschitziana rispetto alla seconda variabile.

Una condizione sufficiente a garantire la lipschitzianità locale di $f$ è che $(\partial f)/(\partial y)$ sia continua (in tal modo, su ogni compatto si ha $L=max |(\partial f)/(\partial y)| <+oo$ e la lipschitzianità segue dal teorema di Lagrange); per la lipschitzianità globale, invece, basta che $(\partial f)/(\partial y)$ sia limitata.
Inversamente, se $f$ è lipschitziana intorno ad un punto allora i rapporti incrementali di $f$ rispetto ad $y$ rimangono limitati; in più, se la derivata $(\partial f)/(\partial y)$ esiste intorno a quel punto, allora $(\partial f)/(\partial y)$ è limitata.

Evidentemente ci sono funzioni "esprimibili con una formula" (:roll:) che non sono lipschitziane (né globalmente, né localmente): ad esempio $f(x,y):=\sqrt(|y|)$.
Ciò si dimostra facendo vedere che intorno a $(0,0)$ i rapporti incrementali di $f$ rispetto a $y$ non rimangono limitati.