Equazioni differenziali ordinarie
${(ddoty(t)-doty(t)+y(t)=delta(t-t_0)),( y(0)=a),( y'(0)=b):}$
__________
$L(y)=L(y)$
$L(doty)=pL(y)-y(0)=pL(y)-a$
$L(ddoty)=pL(doty)-doty(0)=p^2L(y)-ap-b$
$L(delta(t-t_0))=e^-(t_0p)$
$p^2L(y)-ap-b-pL(y)+a + L(y)=e^-(t_0p)$
$L(y)= (e^-(t_0p)+ap+b-a)/(p^2-p+1)$
$y(t)=1/(2pii) int_{-oo}^{+oo}(e^-(t_0p)+ap+b-a)/(p^2-p+1)e^(pt) dp $
fino qui è giusto o c'è qualcosa di sbagliato? (grazie)
__________
$L(y)=L(y)$
$L(doty)=pL(y)-y(0)=pL(y)-a$
$L(ddoty)=pL(doty)-doty(0)=p^2L(y)-ap-b$
$L(delta(t-t_0))=e^-(t_0p)$
$p^2L(y)-ap-b-pL(y)+a + L(y)=e^-(t_0p)$
$L(y)= (e^-(t_0p)+ap+b-a)/(p^2-p+1)$
$y(t)=1/(2pii) int_{-oo}^{+oo}(e^-(t_0p)+ap+b-a)/(p^2-p+1)e^(pt) dp $
fino qui è giusto o c'è qualcosa di sbagliato? (grazie)
Risposte
uppettino
Ma che roba è?
Scrivere due parole due per far comprendere le difficoltà agli altri, non si usa più?
P.S.: Ovviamente, so che roba è (un PdC da risolvere con l'ausilio della trasformata di Laplace, tipico esercizio da Metodi)... Ma non è questo il punto.
Quando un utente propone questioni alla community, dovrebbe farlo rispettando alcune indicazioni di massima date qui.
Scrivere due parole due per far comprendere le difficoltà agli altri, non si usa più?
P.S.: Ovviamente, so che roba è (un PdC da risolvere con l'ausilio della trasformata di Laplace, tipico esercizio da Metodi)... Ma non è questo il punto.
Quando un utente propone questioni alla community, dovrebbe farlo rispettando alcune indicazioni di massima date qui.
b(x)= un impulso ritardato?? e che roba è?? ho visto che ti sei riportato a una forma in stile funzione di trasferimento, e come vuoi procedere poi con laplace?? bo bo mistero puro 
la difficoltà sta nel capire se questo tipo di esercizi si svolge cosi o meno.
ho tentato di risolvere l'equazione differenziale ed essendo presente la delta di dirac credo di essere obbligato a svolgerlo con laplace.
ma da vecchie reminescenze di analisi dei sistemi io queste equazioni le risolvevlo passando nel dominio di laplace, nel dominio del tempo non ne vale la pena...e quindi mi ricavavo l'equivalente funzione di trasferimento che (tra l'altro hai calcolato), la scomponevo in residui poli calcolandomi il valore dei residui e poi riantitrasformavo nel domino del tempo...ora non chiedermi di fartelo perchè purtroppo sono un pò rusty sull'argomento dovrei rivedermelo, cosa che a breve farò sicuramente 
E certo che sei "obbligato"... Infatti, essendo la \(\delta\) una distribuzione (temperata), l'equazione non è da intendersi come EDO, ma come ED distribuzionale.
Quindi il PdC ti chiede di determinare una distribuzione che soddisfi una certa ED e delle condizioni iniziali. Ovviamente, dato che le distribuzioni non sono tenute ad essere rappresentate da funzioni (regolari o irregolari che siano), la verifica delle condizioni iniziali è possibile solo se la soluzione distribuzionale si può rappresentare mediante una funzione almeno di classe \(C^1\).
Ad ogni modo, i passaggi sembrano corretti (assumendo \(t_0\geq 0\), altrimenti è inutile porsi il problema: la ED diventa un EDO standard).
Ti rimarrebbe da discutere un po' quella noiosissima antitrasformata.
Quindi il PdC ti chiede di determinare una distribuzione che soddisfi una certa ED e delle condizioni iniziali. Ovviamente, dato che le distribuzioni non sono tenute ad essere rappresentate da funzioni (regolari o irregolari che siano), la verifica delle condizioni iniziali è possibile solo se la soluzione distribuzionale si può rappresentare mediante una funzione almeno di classe \(C^1\).
Ad ogni modo, i passaggi sembrano corretti (assumendo \(t_0\geq 0\), altrimenti è inutile porsi il problema: la ED diventa un EDO standard).
Ti rimarrebbe da discutere un po' quella noiosissima antitrasformata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo