Equazioni differenziali omogenee
Salve a tutti, devo risolvere il seguente problema:
Determinare la curva del piano XY che passa per (1,1) ed interseca ad angolo retto tutte le curve di livello di f(x,y)=x^4+y^2.
Come suggerimento mi viene detto che la curva cercata ha vettore tangente parallelo alla normale alle curve di livello suddette, questa condizione da luogo a un sistema di equazioni differenziali omogenee.
Purtroppo non ho il risultato e non so proprio da dove iniziare.
Grazie mille
Determinare la curva del piano XY che passa per (1,1) ed interseca ad angolo retto tutte le curve di livello di f(x,y)=x^4+y^2.
Come suggerimento mi viene detto che la curva cercata ha vettore tangente parallelo alla normale alle curve di livello suddette, questa condizione da luogo a un sistema di equazioni differenziali omogenee.
Purtroppo non ho il risultato e non so proprio da dove iniziare.
Grazie mille
Risposte
La normale alle curve di livello suddette è un modo di chiamare il gradiente.
Il gradiente è: $\nabla f(x,y)=(4x^3,2y)$.
La nostra curva quindi avrà una tangente che possiamo scrivere come: $(dy)/(dx)=(2x^3)/(y)$.
Se la riscriviamo come $y\ dy=2x^3\ dx$ diventa una semplice equazione differenziale e risolvendola abbiamo:
$y^2=x^4+c$
In particolare la curva $y^2=x^4$ passa per $(1,1)$.
Il gradiente è: $\nabla f(x,y)=(4x^3,2y)$.
La nostra curva quindi avrà una tangente che possiamo scrivere come: $(dy)/(dx)=(2x^3)/(y)$.
Se la riscriviamo come $y\ dy=2x^3\ dx$ diventa una semplice equazione differenziale e risolvendola abbiamo:
$y^2=x^4+c$
In particolare la curva $y^2=x^4$ passa per $(1,1)$.
vedendo lo svolgimento mi sono persa in un bicchiere d'acqua. mi ha mandato fuori strada il suggerimento. grazie mille
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