Equazioni differenziali non omogenee
Buonasera a tutti! Sto preparando l'esame di Analisi 2, e come un furbo non ho seguito il corso e sto facendo tutto da solo 
posto qui per chiedervi un aiuto sulla risoluzione delle equazioni differenziali di ordine n non omogenee, dato che ho consultato diverse fonti e non son riuscito a venirne a capo...
in questo pdf http://www.capobianconicola.eu/Scilab/equazioni.pdfho trovato delle buone spiegazioni, ma giunto al punto appunto delle eq.diff. non omogenee, non ho capito come ha fatto a risolvere il sistema, che ha come risultati i valori immediatamente all'inizio di pagina 3... qualcuno è in grado di spiegarmi come ricavo quei valori?
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!
posto qui per chiedervi un aiuto sulla risoluzione delle equazioni differenziali di ordine n non omogenee, dato che ho consultato diverse fonti e non son riuscito a venirne a capo...
in questo pdf http://www.capobianconicola.eu/Scilab/equazioni.pdfho trovato delle buone spiegazioni, ma giunto al punto appunto delle eq.diff. non omogenee, non ho capito come ha fatto a risolvere il sistema, che ha come risultati i valori immediatamente all'inizio di pagina 3... qualcuno è in grado di spiegarmi come ricavo quei valori?
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!
Risposte
Se ho capito qual è il punto che non ti torna, la risposta è che una volta che hai la soluzione con tutti i suoi coefficienti variabili, la inserisci nell'equazione di partenza, e poi confronti i termini di grado simile per dedurre i valori delle costanti arbitrarie.
È un procedimento simile a quando fai gli integrali impropri spezzando la frazione e mettendo i coefficienti \(A, B, C...\) che poi vai a dedurre guardando la frazione di partenza.
È un procedimento simile a quando fai gli integrali impropri spezzando la frazione e mettendo i coefficienti \(A, B, C...\) che poi vai a dedurre guardando la frazione di partenza.
Ok sono riuscito a risolvere il sistema e ad ottenere i numeri stampati nella terza pagina, ma per farlo ho preso $2a-7*(2at+b)+12*(at^2+bt+c)=t^2$, che è l'equazione scritta in fondo alla seconda pagina, ho raccolto $t$ e $t^2$ ed ho ottenuto: $t^2*(12a-1)+t*(-14a+12b)+2a-7b+12c=0$, risolvendo il sistema: \begin{cases} 12a-1=0\\ -14a+12b=0\\ 2a-7b+c=0 \end{cases} ottengo appunto i valori riportati all'inizio di pagina 3. ma devo sempre porre le equazioni uguali a $0$?
Non è che DEVI porle uguale a zero; guarda l'ultima equazione che hai scritto: a sinistra hai un polinomio, a destra hai un polinomio [banale, lo 0].
Se vuoi che il polinomio a sinistra sia uguale a quello a destra, devi chiedere che tutti i coefficienti a sinistra
siano nulli.
È come se avessi, a destra, \(0 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0\).
Claro?
Se vuoi che il polinomio a sinistra sia uguale a quello a destra, devi chiedere che tutti i coefficienti a sinistra
siano nulli.
È come se avessi, a destra, \(0 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0\).
Claro?
"Raptorista":
Non è che DEVI porle uguale a zero; guarda l'ultima equazione che hai scritto: a sinistra hai un polinomio, a destra hai un polinomio [banale, lo 0].
Se vuoi che il polinomio a sinistra sia uguale a quello a destra, devi chiedere che tutti i coefficienti a sinistra
siano nulli.
È come se avessi, a destra, \(0 \cdot t^2 + 0 \cdot t + 0\).
Claro?
aah si, ho capito ora!
quindi a meno di casi particolari, riuscirò sempre a portare tutto a sinistra e raccogliere tutto, quindi porre tutto uguale a $0$, altrimenti imposterò il sistema in maniera diversa! perfetto, al momento dovrei essere a posto, grazie infinite per l'aiuto 
mi è venuto un ulteriore dubbio, questa volta sulla risoluzione dell'equazione quando c'è un esponenziale...
nell'esempio a pagina 3, vi è l'equazione: $y''-7y'+12y=te^(3t)$
c'è $e^(3t)$, e $3$ è anche soluzione dell'integrale generale. quindi in questo caso si avrà $\phi(t)=t(b_0t^r+b_1t^(r-1)+...+b_(r-1)t+b_r)e^(3t)$, ma il polinomio tra parentesi lo scrive come $at+b$. ma dato che $a_n=12\ne0$, non dovrebbe essere $at^2+bt+c$?
nell'esempio a pagina 3, vi è l'equazione: $y''-7y'+12y=te^(3t)$
c'è $e^(3t)$, e $3$ è anche soluzione dell'integrale generale. quindi in questo caso si avrà $\phi(t)=t(b_0t^r+b_1t^(r-1)+...+b_(r-1)t+b_r)e^(3t)$, ma il polinomio tra parentesi lo scrive come $at+b$. ma dato che $a_n=12\ne0$, non dovrebbe essere $at^2+bt+c$?
No, il procedimento che sta seguendo è quello del metodo di somiglianza, che prescrive un polinomio di primo grado se il termine forzante ha un polinomio di primo grado.
ho paura di non aver compreso bene... Con termine forzante intendi $te^(3t)$? e dato che è di primo grado, scrivo $at+b$?
Dato che è della forma \(P_m(t) e^{\alpha t}\), allora la soluzione particolare sarà del tipo \(t^k Q_m(t)e^{\alpha t}\) dove \(P_m\) e \(Q_m\) sono polinomi di grado \(m\) e \(k\) è la molteplicità di \(\alpha\) come radice del polinomio caratteristico.
allora se ho capito bene il polinomio generale che dovrò utilizzare sarà dello stesso grado del polinomio a destra dell'equazione, in quel caso è $t$ e di conseguenza userò $at+b$, se fosse stato $t^2$ avrei utilizzato $at^2+bt+c$, giusto? e questo vale in generale per tutti i casi, eccetto in presenza di seno e coseno, è corretto il ragionamento?
Giusto, a meno che la \(\alpha\) sia soluzione del polinomio caratteristico.
Comunque questo metodo è ben documentato, quindi prendi un libro di analisi e cercalo, si chiama "metodo di somiglianza".
Comunque questo metodo è ben documentato, quindi prendi un libro di analisi e cercalo, si chiama "metodo di somiglianza".
si si l'ho trovato oggi ho fatto un pò di difficoltà a capire di cosa parlavano quelle pagine, per quello, ora comincio a vederci più chiaro! grazie mille di nuovo ma non so perchè ho paura che più avanti avrò ancora qualche dubbio 
ho fatto un pò di difficoltà a capire di cosa parlavano quelle pagine, per quello, ora comincio a vederci più chiaro! grazie mille di nuovo ma non so perchè ho paura che più avanti avrò ancora qualche dubbio
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