Equazioni differenziali non omogenee

[alfredbass]

Buonasera, ho difficolta nel risolvere quest equazione differenziale:
y''-y'=t

Io, procedo risolvendo l equazione caratteristica associata, che ha radici: z=0, z'=1;
trovo y(omogenea)(t)=c+c'e^t

Arrivato a questo punto, non so come fare a trovare la soluzione particolare, dato che se considero come soluzione particolare la funzione y(particolare)(t)=at e sostituisco le sue derivate nell equazione differenziale iniziale, trovo -a=t....


In poche parole non so il metodo per trovare la soluzione particolare della y(omogenea) e non so trovare i parametri...
Potete aiutarmi?

[Quinzio]

Prova a porre $z=y'$ e quindi diventa un eq. diff. di Bernoulli.

[gugo82]

Il termine noto della EDO è un polinomio di primo grado, \(p_1(t) :=t\), e perciò esso è in forma "comoda" ed individua il numero complesso \(0\); essendo tale numero una radice del polinomio caratteristico associato alla EDO com molteplicità \(\mu =1\), il metodo di somiglianza si applica e suggerisce di cercare come integrale particolare una funzione del tipo:
\[
\bar{y}(t) = t^\mu\ P_1(t)
\]
in cui \(P_1(t)\) è un polinomio di primo grado a coefficienti incogniti; per imporre che la funzione \(\bar{y}(t) =t(A+Bt)\) sia soluzione della EDO calcoliamo:
\[
\bar{y}^\prime (t) = A+2Bt\qquad \text{e}\qquad \bar{y}^{\prime \prime} (t) =2B
\]
e sostituiamo nella EDO ottenendo:
\[
2B -A-2Bt =t \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} -2B=1\\ -A+2B=0
\end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} B=-1/2\\ A=-1
\end{cases}
\]
cosicché l'integrale particolare della EDO completa è:
\[
\bar{y}(t) = -t-\frac{1}{2}\ t^2\; .
\]