Equazioni differenziali non lineari

[sgabryx]

Salve, avrei bisogno di un aiuto con un'equazione differenziale nella quale mi sono imbattuta.
L'equazione è

$y'=(y^3-y)/(1+e^y+e^-y)$

Ho iniziato la divisione di variabili ma all'integrale ho trovato difficoltà

$int ((1+e^y+e^-y)/(y^3-y)) dy$

Ho pensato di scindere il polinomio e scomporre il denominatore.
Ho controllato anche su Wolfram Alpha ma compare una certa funzione "Ei" che non riesco a comprendere (nella definizione dice essere un integrale esponenziale)
Qualcuno può aiutarmi a capire dove sbaglio?

[gugo82]

Semplicemente la EDO non ha una soluzione elementare... Non c'è niente di strano.

[sgabryx]

Quindi come faccio a verificarne il limite per x che tende all'infinito?

Scrivo il testo dell'esercizio per intero:
"Si discuta del $lim Y(x)$ , con x che tende all'infinito, dove Y è la soluzione di y' tale che y(0)=1/2

[Antimius]

Devi fare un po' di considerazioni qualitative. Intanto nota che $y=0$ e $y=1$ sono soluzioni stazionarie dell'equazione differenziale. Quindi, la soluzione che parte da $1/2$ sarà strettamente compresa tra $0$ e $1$, altrimenti due soluzioni si intersecherebbero e avrei due soluzioni corrispondenti allo stesso dato iniziale, violando il principio di unicità del teorema di Cauchy.
Poi puoi notare che $y^3 -y < 0$ per $y \in (0,1)$ e quindi $y' < 0$, che implica che la funzione è decrescente, perciò ammette lmite. Poiché decresce ed è limitata dal basso, il limite è finito.
Prova a continuare da qui.

[gugo82]

Morale della favola: non è sempre necessario conoscere esplicitamente la soluzione di una EDO per studiarne il comportamento.

La parte della teoria delle EDO che si occupa di trarre informazioni sulle soluzioni a partire unicamente della EDO si chiama studio qualitativo della soluzione.

[sgabryx]

Ho le idee un po' più chiare. Ci ragiono e ci provo, grazie ad entrambi