Equazioni differenziali nel sangue!?! :-))))
La funzione $C(t) = k(e^(−at) − e^(−bt))$, dove $a, b, k$ sono costanti positive con $b > a$ è usata come modello di concentrazione nel sangue al tempo $t$ di un farmaco, un cui precursore viene iniettato nel sangue all’istante $t = 0$.
1. Calcolare $ lim_(t->(+oo)) C(t) $.
2. Calcolare $C^{\prime}(t)$, ossia, la velocità alla quale cresce la concentrazione del farmaco.
3. Calcolare per quale $t$ si ha la massima concentrazione di farmaco nel sangue.
4. Considerando il sistema di equazioni differenziali
${ (B^(')(t) = −aB(t)), (C^(')(t) = aB(t) − bC(t)) :}$
con dato iniziale $B(0) = k*(b − a)/a$, $C(0) = 0$,
(a) trovate $B(t)$ che risolve tale sistema
(b) mostrate che $C(t)$ dato sopra ne è la soluzione.
---------------------------------------
Vi propongo questo problema
trovato nel mentre studiavo (e studio ancora...) le equazioni differenziali...
Cercavo qualcosa di concreto per vedere dove vengono usate (..oltre al solito esempio della molla o della resistenza..).
1. Calcolare $ lim_(t->(+oo)) C(t) $.
2. Calcolare $C^{\prime}(t)$, ossia, la velocità alla quale cresce la concentrazione del farmaco.
3. Calcolare per quale $t$ si ha la massima concentrazione di farmaco nel sangue.
4. Considerando il sistema di equazioni differenziali
${ (B^(')(t) = −aB(t)), (C^(')(t) = aB(t) − bC(t)) :}$
con dato iniziale $B(0) = k*(b − a)/a$, $C(0) = 0$,
(a) trovate $B(t)$ che risolve tale sistema
(b) mostrate che $C(t)$ dato sopra ne è la soluzione.
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Vi propongo questo problema
trovato nel mentre studiavo (e studio ancora...) le equazioni differenziali...Cercavo qualcosa di concreto per vedere dove vengono usate (..oltre al solito esempio della molla o della resistenza..).
Risposte
hai provato a risolverlo?
uh mio carissimo personal mate-trainer!
Allora, appena l'ho visto ho pensato di non saperlo fare.. Poi l'ho ripreso e mi son accorto (che effetivamente non lo so fare
). Però se riuscissi a capirlo sicuro assimilerò meglio l'argomento...
Il problema sta tutto nell'interpretazione dei dati. Credo. Poi alla fine dei conti potrei anche riuscirci... (Non ridere...
)
1) Il limite penso tenda a zero ma non so perché venga richiesto...
2) devo trovare la derivata (che rappresenta la velocità... OK)
3) punto di max di C considerando i dati della sua derivata (punto 2?)
4) ma è un sistema di 2 eq differenziali? con 2 dati iniziali?? Mai visto. Ma son curioso..
Per te scommetto che è facilotto... Per me è il top di difficoltà!
Allora, appena l'ho visto ho pensato di non saperlo fare.. Poi l'ho ripreso e mi son accorto (che effetivamente non lo so fare
). Però se riuscissi a capirlo sicuro assimilerò meglio l'argomento...Il problema sta tutto nell'interpretazione dei dati. Credo. Poi alla fine dei conti potrei anche riuscirci... (Non ridere...
)1) Il limite penso tenda a zero ma non so perché venga richiesto...
2) devo trovare la derivata (che rappresenta la velocità... OK)
3) punto di max di C considerando i dati della sua derivata (punto 2?)
4)
ma è un sistema di 2 eq differenziali? con 2 dati iniziali?? Mai visto. Ma son curioso..Per te scommetto che è facilotto... Per me è il top di difficoltà!
1) giustamente deve tendere a zero, non è bello avere residui di farmaci nel sangue per sempre
2), 3) ok
4) il sistema non è difficile da risolvere, infatti è triangolare: trovi B(t) risolvendo la prima, e poi sostituisci la sol trovata nella seconda, e risolvi trovando C(t)
2), 3) ok
4) il sistema non è difficile da risolvere, infatti è triangolare: trovi B(t) risolvendo la prima, e poi sostituisci la sol trovata nella seconda, e risolvi trovando C(t)
"luca.barletta":Mi hai fatto piegare!!
1) giustamente deve tendere a zero, non è bello avere residui di farmaci nel sangue per sempre
Mi hai messo fiducia ora ci provo... (Anche se dovrei andare a far la spesa a mia nonna...
)Però il 4 non è ancora chiarissimo: faccio prima un sistema di chauchy con B (e suo valore iniziale). E poi in un secondo momento con C (e suo valore iniziale + soluzione di B) ??
Dai che ce la si FO!!!
"Giova411":
Però il 4 non è ancora chiarissimo: faccio prima un sistema di chauchy con B (e suo valore iniziale). E poi in un secondo momento con C (e suo valore iniziale + soluzione di B) ??
proprio così
Luca ma mi hanno fatto "Average Member"??!!? L'ho letto ora!!! Digli agli amministratori che si sbagliano! Dovrei essere sotto-zero-member..
No, ma almeno, rimanere starting...
Cmq dopo la spesa (se no mi cala di peso...) ci provo!
GRAZIE INTANTO!!!!!!!
No, ma almeno, rimanere starting...
Cmq dopo la spesa (se no mi cala di peso...) ci provo!
GRAZIE INTANTO!!!!!!!
1) $lim_(t->oo) k(1/(e^(at)) - 1/(e^(bt)) )= 0 $ dove $a, b, k >0$
2) $C^{\prime}(x)= (k*(-ae^(t(a+2b)) + be^(t(b+2a)) ) )/(e^(2t(a+b))) $
All'istante $t=0$ ho: $C'(0) = k(b-a) $
3) Non so, ma non si annulla la derivata che ho trovato... Quindi non ha punti critici... (Consigli?)
4)
Prima devo:
${(B'= -aB),(B(0)=((k(b-a))/a)):}$
Mi sembra che sia del 1 ordine a coef costanti ed omogenea:
$B'+aB=0$ risolta con $B=e^(alpha*t)$ e $B=(alpha)e^(alpha*t)$ quindi:
$alpha = -a$
Integrale generale: $B=ce^(-at)$
Integrale particolare: $B=(k((b-a))/a)e^(-at)$
Ecco poi?!
${(C^{\prime}= a( (k(b-a))/a * e^(-at) ) -bC ),( C(0)=0 ):}
Questa eq come si risolve? Che tipo è?
$C^'= k(b-a) * e^(-at) - bC$
2) $C^{\prime}(x)= (k*(-ae^(t(a+2b)) + be^(t(b+2a)) ) )/(e^(2t(a+b))) $
All'istante $t=0$ ho: $C'(0) = k(b-a) $
3) Non so, ma non si annulla la derivata che ho trovato... Quindi non ha punti critici... (Consigli?)
4)
Prima devo:
${(B'= -aB),(B(0)=((k(b-a))/a)):}$
Mi sembra che sia del 1 ordine a coef costanti ed omogenea:
$B'+aB=0$ risolta con $B=e^(alpha*t)$ e $B=(alpha)e^(alpha*t)$ quindi:
$alpha = -a$
Integrale generale: $B=ce^(-at)$
Integrale particolare: $B=(k((b-a))/a)e^(-at)$
Ecco poi?!
${(C^{\prime}= a( (k(b-a))/a * e^(-at) ) -bC ),( C(0)=0 ):}
Questa eq come si risolve? Che tipo è?
$C^'= k(b-a) * e^(-at) - bC$
"Giova411":
2) $C^{\prime}(x)= (k*(-ae^(t(a+2b)) + be^(t(b+2a)) ) )/(e^(2t(a+b)))$
Dovrebbe essere più semplicemente $C'(t) = k(-a e^(-at) + b e^(-bt))$.
"Eredir":
[quote="Giova411"]2) $C^{\prime}(x)= (k*(-ae^(t(a+2b)) + be^(t(b+2a)) ) )/(e^(2t(a+b)))$
Dovrebbe essere più semplicemente $C'(t) = k(-a e^(-at) + b e^(-bt))$.[/quote]
Giusto dovevo semplificare ulteriormente, grazie
"Giova411":
[quote="Eredir"]Dovrebbe essere più semplicemente $C'(t) = k(-a e^(-at) + b e^(-bt))$.
Giusto dovevo semplificare ulteriormente, grazie[/quote]
Puoi verificare con un po' di conti che questa funzione si annulla per $t = log (a/b) / (a-b)$.
"Eredir":
Puoi verificare con un po' di conti che questa funzione si annulla per $t = log (a/b) / (a-b)$.
Ok, hai fatto un numero d'alta scuola...
Capito, grazie!
Un dubbietto in meno...
$C^{\prime}= k(b-a) * e^(-at) - bC$è un equazione lineare del primo ordine del tipo $C'=f*C+g$ la cui soluzione è
$y=e^(intfdt)*(intg*e^(-intfdt)+H)$ dove nel tuo caso $f=-b,g=K(b-a)e^(-at)$ per cui $intfdt=-bt$ da cui
$C(t)=e^(-bt)*(intK(b-a)e^(-at)e^(bt)dt+H)=e^(-bt)*(intK(b-a)e^((b-a)*t)dt+H)=e^(-bt)*(Ke^((b-a)t)+H)=K*e^(-at)+He^(-bt)$
Ora imponendo la condizione iniziale $C(0)=0$ trovi $H=-K$ da cui $C(t)=K*(e^(-at)-e^(-bt))$
Sei tornato Nico! Finalmente! 
Ecco perché non la sapevo risolvere! Quella formula non l'ho mai vista! Ma è l'unico metodo possibile?
Ma la soluzione di tutto il problema l'hai vista?
Che ne pensi?
Considerando le nuove modifiche:
2)
Velocità:
$C'(t) = k(-a e^(-at) + b e^(-bt))$
3)
punto di max:
$((log (a/b) / (a-b)), 0)$
Ecco perché non la sapevo risolvere! Quella formula non l'ho mai vista!
Ma è l'unico metodo possibile?Ma la soluzione di tutto il problema l'hai vista?
Che ne pensi?Considerando le nuove modifiche:
2)
Velocità:
$C'(t) = k(-a e^(-at) + b e^(-bt))$
3)
punto di max:
$((log (a/b) / (a-b)), 0)$
"Giova411":
Sei tornato Nico! Finalmente!
Ecco perché non la sapevo risolvere! Quella formula non l'ho mai vista!
Ma la soluzione di tutto il problema l'hai vista?
Considerando le nuove modifiche:
2)
Velocità:
$C'(t) = k(-a e^(-at) + b e^(-bt))$
3)
punto di max:
$((log (a/b) / (a-b)), 0)$
1)é la formula generale per queste equazioni lineari del primo ordine; c'è tuttavia un metodo alternativo
$C(t)=C_o(t)+C_p(t)$ dove $C_o(t)$ soddisfa l'equazione $C_o(t)^(')=-b*C_o(t)$ da cui ricavi $C_o(t)=H*e^(-bt)$ mentre un integrale particolare in tal caso è abbastanza semplice ed è del tipo $C_p(t)=A*e^(-at)$. Ora sostituendo $C_p(t)$ nell'equazione iniziale trovi $A=k$ da cui $C(t)=H*e^(-bt)+k*e^(-at)$ ed ora imponendo la condizione $C(0)=0$ ricavi $H=-k->C(t)=k(e^(-at)-e^(-bt))$
2)la velocità è $C'(t)=k(be^(-bt)-ae^(-at))$ e $C'(t)=0->t=(ln(b/a))/(b-a)$ ed il punto di massimo è $((ln(b/a))/(b-a),kb/a)$
E si, sei proprio tu... Il ritorno di Nico... 
Che scemo,
non ho sostituito per poi avere il punto di max effettivo... Ho fatto copia incolla senza ragionare...
Che scemo,
non ho sostituito per poi avere il punto di max effettivo... Ho fatto copia incolla senza ragionare...
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