Equazioni differenziali lineari, soluzioni complesse coniugate
salve,
non riesco a capire perchè nella soluzione di un equazione differenziale lineare a coefficienti costanti
$C_1e^((a+jb)x)+C_2e^((a-jb)x)$
possa essere riscritto come
$C_1e^(ax)cos(bx)+C_2e^(ax)sin(bx)$
ho provato a fare qualche passaggio applicando la formula di eulero ma non sono arrivato molto lontano
grazie
non riesco a capire perchè nella soluzione di un equazione differenziale lineare a coefficienti costanti
$C_1e^((a+jb)x)+C_2e^((a-jb)x)$
possa essere riscritto come
$C_1e^(ax)cos(bx)+C_2e^(ax)sin(bx)$
ho provato a fare qualche passaggio applicando la formula di eulero ma non sono arrivato molto lontano
grazie
Risposte
Il passaggio è diverso: devi prendere la parte reale della soluzione scritta con gli esponenziali complessi, facendo i conti avrai che tale parte reale è della forma che hai scritto poi, ma attento che le costanti non sono le $C_1,C_2$ di prima, cambiano...
e la parte complessa che fine fa?
grazie
grazie
Non si prende in considerazione, tu vuoi trovare soluzioni reali dell'equazione data del secondo ordine.
Ciao giovx24,
Beh, si ha:
$ C_1e^((a+jb)x)+C_2e^((a-jb)x) = C_1e^(ax) e^(jbx)+C_2e^(ax) e^(-jbx) = $
$ = C_1e^(ax) [cos(bx) +jsin(bx)] + C_2e^(ax) [cos(bx) -jsin(bx)] = e^{ax} [(C_1 + C_2)cos(bx) + j(C_1 - C_2)sin(bx)] $
Le soluzioni sono reali se e solo se $ (C_1 + C_2) \in \RR $ e $ j(C_1 - C_2) \in \RR $
Posto $C_1 = c_1 + j d_1 $ e $C_2 = c_2 + j d_2 $, allora $C_1 + C_2 = (c_1 + c_2) + j(d_1 + d_2) $ e $j(C_1 - C_2) = (d_2 - d_1) + j(c_1 - c_2) $, quindi deve risultare
$\{(d_1 + d_2 = 0),(c_1 - c_2 = 0):} \iff \{(d_2 = - d_1),(c_2 = c_1):} \iff C_2 = \bar{C_1} $
Se $ C_2 = \bar{C_1} $ allora $ C_1 + C_2 = 2c_1 $ e $ j(C_1 - C_2) = - 2d_1 $
Posto $k_1 := 2c_1 $ e $ k_2 := - 2d_1 $ ecco che si può scrivere la soluzione nella forma seguente:
$ e^{ax} [k_1 cos(bx) + k_2 sin(bx)] $
ove $k_1 $ e $k_2 $ sono costanti reali che puoi anche richiamare $C_1 $ e $C_2 $ se ti piace di più...
Beh, si ha:
$ C_1e^((a+jb)x)+C_2e^((a-jb)x) = C_1e^(ax) e^(jbx)+C_2e^(ax) e^(-jbx) = $
$ = C_1e^(ax) [cos(bx) +jsin(bx)] + C_2e^(ax) [cos(bx) -jsin(bx)] = e^{ax} [(C_1 + C_2)cos(bx) + j(C_1 - C_2)sin(bx)] $
Le soluzioni sono reali se e solo se $ (C_1 + C_2) \in \RR $ e $ j(C_1 - C_2) \in \RR $
Posto $C_1 = c_1 + j d_1 $ e $C_2 = c_2 + j d_2 $, allora $C_1 + C_2 = (c_1 + c_2) + j(d_1 + d_2) $ e $j(C_1 - C_2) = (d_2 - d_1) + j(c_1 - c_2) $, quindi deve risultare
$\{(d_1 + d_2 = 0),(c_1 - c_2 = 0):} \iff \{(d_2 = - d_1),(c_2 = c_1):} \iff C_2 = \bar{C_1} $
Se $ C_2 = \bar{C_1} $ allora $ C_1 + C_2 = 2c_1 $ e $ j(C_1 - C_2) = - 2d_1 $
Posto $k_1 := 2c_1 $ e $ k_2 := - 2d_1 $ ecco che si può scrivere la soluzione nella forma seguente:
$ e^{ax} [k_1 cos(bx) + k_2 sin(bx)] $
ove $k_1 $ e $k_2 $ sono costanti reali che puoi anche richiamare $C_1 $ e $C_2 $ se ti piace di più...
wow, grazie mille ho capito perfettamente!
se posso ho un altro dubbio,
ho dimostrato che nel caso di sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti le soluzioni sono del tipo $e^(xA)$ (matrice esponenziale), dall'associazione che sussiste tra sistema ed equazione sono riuscito a generalizzare il risultato per le equazioni piuttosto che con i sistemi ma non capisco perchè nel caso in cui ci siano autovalori con molteplicità 2 viene fuori una cosa del genere
$C_1e^(ax)+C_2xe^(ax)$
cioè da dove viene fuori il secondo termine della somma
grazie
se posso ho un altro dubbio,
ho dimostrato che nel caso di sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti le soluzioni sono del tipo $e^(xA)$ (matrice esponenziale), dall'associazione che sussiste tra sistema ed equazione sono riuscito a generalizzare il risultato per le equazioni piuttosto che con i sistemi ma non capisco perchè nel caso in cui ci siano autovalori con molteplicità 2 viene fuori una cosa del genere
$C_1e^(ax)+C_2xe^(ax)$
cioè da dove viene fuori il secondo termine della somma
grazie
"giovx24":
wow, grazie mille ho capito perfettamente!
Prego!
"giovx24":
se posso ho un altro dubbio [...]
Quando è nullo il discriminante dell'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata si hanno due soluzioni reali coincidenti, e quindi si trova una sola soluzione $y_1(x) = e^{ax} $. Come si può trovare una seconda soluzione non proporzionale a quest'ultima? Ad esempio facendo uso del metodo di variazione della costante arbitraria e quindi cercando una funzione $C(x) $ tale che $ y_2(x) = C(x) e^{ax} $ sia soluzione. Facendo i conti si trova proprio $C(x) = x $ e pertanto una seconda soluzione non proporzionale alla prima è $ y_2(x) = x e^{ax} $ e l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è il seguente:
$y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) = C_1 e^{ax} + C_2 x e^{ax} $
ove $C_1 $ e $C_2 $ sono costanti reali.
"pilloeffe":
[quote="giovx24"]wow, grazie mille ho capito perfettamente!
Prego!
"giovx24":
se posso ho un altro dubbio [...]
Quando è nullo il discriminante dell'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata si hanno due soluzioni reali coincidenti, e quindi si trova una sola soluzione $y_1(x) = e^{ax} $. Come si può trovare una seconda soluzione non proporzionale a quest'ultima? Ad esempio facendo uso del metodo di variazione della costante arbitraria e quindi cercando una funzione $C(x) $ tale che $ y_2(x) = C(x) e^{ax} $ sia soluzione. Facendo i conti si trova proprio $C(x) = x $ e pertanto una seconda soluzione non proporzionale alla prima è $ y_2(x) = x e^{ax} $ e l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è il seguente:
$y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) = C_1 e^{ax} + C_2 x e^{ax} $
ove $C_1 $ e $C_2 $ sono costanti reali.[/quote]
grazie,
questa cosa è necessaria farla anche nel caso in cui trovo autovalori con molteplicità 2 nella soluzione di un sistema piuttosto che di un euqazione?
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