Equazioni differenziali lineari non omogenee a coeff cost.

[kaarot89]

Salve, vorrei una mano per risolvere queste tre equazioni differenziali. Mi servono gli integrali particolari che non riesco proprio a ricavare...

1) $ y'' + y' = 5x + 2e^x $

2) $ y'' - 2y' + 2y = (e^x)(sen x) $

3) $ y'' + 9y' = senx + e^2x $

Grazie.

[gugo82]

Ciao kaarot89.

Visto che sei nuovo, ti faccio notare che questo non è il modo giusto per postare in quanto contravviene esplicitamente al regolamento (cfr. 1.2-1.4); dopo aver letto il regolamento ed aver dato uno sguardo qui, ti invito a mostrarci i tentativi che hai fatto per risolvere (almeno uno de) i problemi che hai postato, così potremo realmente darti una mano.

Buono studio.

[kaarot89]

Mi scuso per non dilungarmi avevo pensato di non inerire mie opinioni, non avevo letto il regolamento. Comunque per quanto riguarda la numero 2) ho verificato che l'omogenea associata porta alla soluzioni di lambda= 1+i e 1-i .
A questo punto occorre scegliere un integrale particolare vo che sia soluzione dell'equazione.
Avendo scelto:

$ e^x (b1 cosx + b2 sen x) $

ed avendo constatato che quando lo derivo due volte e sostituisco nell'equazione iniziale mi annulla tutto, mi sono rivolto al forum. Grazie

[gugo82]

Le radici del polinomio caratteristico (ossia i "lambda"... Per favore, usiamo un po' di linguaggio matematicamente appropriato -anche perchè io potrei essere abituato a chiamarle "pincopallino" e a non capire il tuo problema-) sono $1pm"i"$ ed ognuna di esse ha molteplicità pari ad $1$.
Il termine noto è nella forma $"e"^(alphax)*(Acosbetax+Bsinbetax)$ con $alpha=1,beta=1,A=0,B=1$.

Visto che i numeri complessi $alpha pm beta"i"=1pm "i"$ coincidono con le radici del polinomio caratteristico e visto che tali radici hanno molteplicità $1$, devi andare a cercare le soluzioni nella forma $"e"^(alpha x)[(ax+b)cos beta x+(cx+d)sin beta x]$ (in cui ci sono polinomi di primo grado -ossia di grado pari alla molteplicità delle radici- che moltiplicano le funzioni trigonometriche).

[*CyberCrasher]

provo a farti la prima:

$y''+y'=5x+2e^x$

$lambda^2+lambda=0 -> lambda(lambda+1)=0 -> lambda_1=0 , lambda_2=-1$

da queste ricavo:
$y_1=1 ->y'_1=0$
$y_2=e^-x -> y'_2=-e^-x$

quindi:
$\{(C'_1+C'_2e^-x=0),(-C'_2e^-x=5x+2e^x):} -> {\(C'_1=5x+2e^x),(C'_2=-(5x+2e^x)e^x):} -> {\(C_1=5/2x^2 + 2e^x),(C_2=-5e^x(x-1)-e^(2x)):}

$y(x) = \alpha + \betae^-x +5/2x^2 + 2e^x + (-e^(2x)-5e^x(x-1))e^-x$
...
$y(x)= 5/2x^2-5x+5+\alpha+\betae^-x+e^x$

Spero sia corretta perchè anch'io in questo periodo sto studiando questi argomenti..