Equazioni differenziali lineari coi complessi e le funzioni trigonometriche

[Bertucciamaldestra]

Buongiorno! Ho queste due equazioni lineari che mi danno non pochi problemi:
$y'+3y=e^(ix)$
$y'+3y=cosx$
ho provato a risolverle con il solito metodo ma nella prima non sapevo nemmeno bene come si tratta $int e^(ix+3x)$ e ho tentato scrivendo $ye^(3x)= (e^(ix+3x)/(3+i))+c$ ma non arrivo alla soluzione. Mentre nella seconda ottengo semplicemente $sinxe^(-3x )+ ce^(-3x)$ ma non è giusto nemmeno questo! Non capisco cosa sbaglio

[Cuppls1]

Per risolvere queste equazioni devi risolvere prima l'omogenea associata $y_o'+3y_o=0$ e in seguito trovare una soluzione particolare.

L'omogenea si risolve tramite il polinomio caratteristico : $lambda +3=0 -> lambda =-3 -> y_o=Ae^(-3x)$

La soluzione particolare puoi trovarla col metodo di somiglianza ,cioè ponendo come soluzione (rispettivamente per la prima e seconda equazione) $y_(p1)=c_1cosx+c_2sinx \quad, \quad y_(p2)=ce^(ix)$ e sostituendole nelle equazioni iniziali per trovare le costanti $c_1, c_2 \text{ e } c$

La soluzione finale è $y=y_o + y_p$

[Bertucciamaldestra]

Tutta questa parte di teoria mi manca grazie mille per la spiegazione rimedio subito alle mie lacune

[Cuppls1]

Molto scimmiescamente puoi risolvere anche l'omogenea associata integrando ambo i membri
$(dy)/(dx)=-3y -> int (dy)/y=int-3dx$
e ricavarti $y(x)$ e poi procedi a ricavare la soluzione particolare, e quì si tratta di sostituire $y_p$ nell'equazione iniziale per ricavare le costanti. Puoi consultare questa tabella per il metodo di somiglianza : http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf

[seb1]

"Bertucciamaldestra":ho provato a risolverle con il solito metodo ma nella prima non sapevo nemmeno bene come si tratta $int e^(ix+3x)$ e ho tentato scrivendo $ye^(3x)= (e^(ix+3x)/(3+i))+c$ ma non arrivo alla soluzione.

Invece sì che arrivi alla soluzione ed è pure il metodo più rapido, però - giustamente - se non si sa bene come trattare l'integrale non ha nemmeno senso proseguire. Tuttavia grazie alla formula di Eulero puoi ricondurti a integrali di cui hai affrontato la teoria. Si ha:\[e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\]il che riscrive la prima equazione differenziale come \(y'+3y=\cos{x}+i\sin{x}\). Allora la formula risolutiva che hai usato porge:\[y(x)=e^{-3x}\left[\int(\cos{x}+i\sin{x})e^{3x}\mathrm{d}x+c\right],\quad c\in\mathbb{R}\]La risoluzione dell'integrale può essere spezzata in due parti: \(\int(\cos{x}+i\sin{x})e^{3x}\mathrm{d}x=\int e^{3x}\cos{x}\mathrm{d}x+i\int e^{3x}\sin{x}\mathrm{d}x\), in cui si è banalmente portata fuori dall'integrale la costante immaginaria \(i\) perché, per l'appunto, costante. Ora, anziché risolvere separatamente tali integrali, notiamo che:\[\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}=\begin{cases}
\sin{x},\;k=0\\
\cos{x},\;k=1
\end{cases}\]Dunque non ci resta che risolvere: \(\int e^{3x}\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}\mathrm{d}x\); abbiamo:\[\int e^{3x}\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}\mathrm{d}x=\frac{e^{3x}}{10}\left[3\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}-\cos{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}\right]\]Ma, allora:\[\int(\cos{x}+i\sin{x})e^{3x}\mathrm{d}x=\frac{e^{3x}}{10}[3\cos{x}+\sin{x}+i(3\sin{x}-\cos{x})]\]e complessivamente:\[y(x)=ce^{-3x}+\frac{1}{10}[3\cos{x}+\sin{x}+i(3\sin{x}-\cos{x})]\]Per quanto riguarda la seconda equazione differenziale, dal momento che \(\Re(e^{ix})=\cos{x}\), l'integrale generale è dato dalla parte reale della soluzione appena calcolata alla prima equazione differenziale:\[y(x)=ce^{-3x}+\frac{3\cos{x}+\sin{x}}{10}\]

[Bertucciamaldestra]

"seb":[quote="Bertucciamaldestra"]ho provato a risolverle con il solito metodo ma nella prima non sapevo nemmeno bene come si tratta $int e^(ix+3x)$ e ho tentato scrivendo $ye^(3x)= (e^(ix+3x)/(3+i))+c$ ma non arrivo alla soluzione.

Invece sì che arrivi alla soluzione ed è pure il metodo più rapido, però - giustamente - se non si sa bene come trattare l'integrale non ha nemmeno senso proseguire. Tuttavia grazie alla formula di Eulero puoi ricondurti a integrali di cui hai affrontato la teoria. Si ha:\[e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\]il che riscrive la prima equazione differenziale come \(y'+3y=\cos{x}+i\sin{x}\). Allora la formula risolutiva che hai usato porge:\[y(x)=e^{-3x}\left[\int(\cos{x}+i\sin{x})e^{3x}\mathrm{d}x+c\right],\quad c\in\mathbb{R}\]La risoluzione dell'integrale può essere spezzata in due parti: \(\int(\cos{x}+i\sin{x})e^{3x}\mathrm{d}x=\int e^{3x}\cos{x}\mathrm{d}x+i\int e^{3x}\sin{x}\mathrm{d}x\), in cui si è banalmente portata fuori dall'integrale la costante immaginaria \(i\) perché, per l'appunto, costante. Ora, anziché risolvere separatamente tali integrali, notiamo che:\[\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}=\begin{cases}
\sin{x},\;k=0\\
\cos{x},\;k=1
\end{cases}\]Dunque non ci resta che risolvere: \(\int e^{3x}\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}\mathrm{d}x\); abbiamo:\[\int e^{3x}\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}\mathrm{d}x=\frac{e^{3x}}{10}\left[3\sin{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}-\cos{\left(k\frac{\pi}{2}+x\right)}\right]\]Ma, allora:\[\int(\cos{x}+i\sin{x})e^{3x}\mathrm{d}x=\frac{e^{3x}}{10}[3\cos{x}+\sin{x}+i(3\sin{x}-\cos{x})]\]e complessivamente:\[y(x)=ce^{-3x}+\frac{1}{10}[3\cos{x}+\sin{x}+i(3\sin{x}-\cos{x})]\]Per quanto riguarda la seconda equazione differenziale, dal momento che \(\Re(e^{ix})=\cos{x}\), l'integrale generale è dato dalla parte reale della soluzione appena calcolata alla prima equazione differenziale:\[y(x)=ce^{-3x}+\frac{3\cos{x}+\sin{x}}{10}\][/quote]
Non ci sarei mai e poi mai arrivata da sola! Grazie a tutti per i metodi che mi avete spiegato