Equazioni differenziali in ipotesi di continuita
volevo sapere dove si puo traovare un po di materiale per dimostrare l' esistenza e unicita di equazioni differenziali sotto ipotesi di continuita.
Risposte
Non si capisce cosa vuoi.
Le equazioni differenziali non hanno soluzione unica: e.g., le soluzioni delle EDO \(y^\prime (x)=0\) sono tutte e sole le funzioni costanti \(y(x)=C\)... Quindi l'unicità te la sogni.
Per avere unicità devi necessariamente accoppiare all'equazione differenziale (ordinaria? alle derivate parziali? astratta? di che tipo?) opportune condizioni; ed i teoremi cambiano al cambiare delle condizioni.
Lo stesso vale per l'esistenza. Senza specificare le condizioni accoppiate all'equazione differenziale, il problema dell'esistenza di soluzioni non è ben posto.
Quindi, ti spiacerebbe essere più preciso?
Le equazioni differenziali non hanno soluzione unica: e.g., le soluzioni delle EDO \(y^\prime (x)=0\) sono tutte e sole le funzioni costanti \(y(x)=C\)... Quindi l'unicità te la sogni.
Per avere unicità devi necessariamente accoppiare all'equazione differenziale (ordinaria? alle derivate parziali? astratta? di che tipo?) opportune condizioni; ed i teoremi cambiano al cambiare delle condizioni.
Lo stesso vale per l'esistenza. Senza specificare le condizioni accoppiate all'equazione differenziale, il problema dell'esistenza di soluzioni non è ben posto.
Quindi, ti spiacerebbe essere più preciso?
esistenza e unicita per il problema di cauchy nell' ipotesi di continuita
Suppongo si tratti sempre di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie, del primo ordine, in forma normale, cioè di problemi del tipo:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x)=f(x,y(x))\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
\]
con \((x_0,y_0)\) interno all'aperto in cui il secondo membro è continuo.
In tal caso, l'esistenza si fa usando le approssimazioni di Eulero ed il Teorema di Ascoli-Arzelà; oppure il Teorema di Punto Fisso di Schauder.
Le dimostrazioni sono lunghette e non vale la pena riportarle.
Ti potrebbe essere utile consultare qualche testo sulle EDO: probabilmente la puoi trovare sul libriccino di Ambrosetti, Appunti sulle Equazioni Differenziali Ordinarie; certamente c'è sul Walter, Ordinary Differential Equations, cap. II; oppure sullo Hartman, Ordinary Differential Equations, cap. 2 (questi ultimi due li trovi su Google Books).
L'unicità, nelle sole ipotesi di continuità del secondo membro, in generale non vale proprio.
Ad esempio, c'è il famoso controesempio di Peano: il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = 3\sqrt[3]{y^2(x)}\\
y(0)=0
\end{cases}
\]
che ha sì come soluzione la funzione nulla \(\bar{y}(x)=0\), ma ha anche altre soluzioni non nulle!
Per la precisione, le soluzioni non nulle del precedente PdC sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
y(x;c_1,c_2):= \begin{cases} (x-c_1)^3 & \text{, se } x\leq c_1\\
0 &\text{, se } c_1\leq x\leq c_2\\
(x-c_2)^2 &\text{, se } x\geq c_2\end{cases}
\]
con \(c_1\leq 0\leq c_2\in \mathbb{R}\).
Quindi altro che unicità... Addirittura hai una famiglia doppiamente infinita di soluzioni diverse da quella nulla!
\[
\begin{cases}
y^\prime (x)=f(x,y(x))\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
\]
con \((x_0,y_0)\) interno all'aperto in cui il secondo membro è continuo.
In tal caso, l'esistenza si fa usando le approssimazioni di Eulero ed il Teorema di Ascoli-Arzelà; oppure il Teorema di Punto Fisso di Schauder.
Le dimostrazioni sono lunghette e non vale la pena riportarle.
Ti potrebbe essere utile consultare qualche testo sulle EDO: probabilmente la puoi trovare sul libriccino di Ambrosetti, Appunti sulle Equazioni Differenziali Ordinarie; certamente c'è sul Walter, Ordinary Differential Equations, cap. II; oppure sullo Hartman, Ordinary Differential Equations, cap. 2 (questi ultimi due li trovi su Google Books).
L'unicità, nelle sole ipotesi di continuità del secondo membro, in generale non vale proprio.
Ad esempio, c'è il famoso controesempio di Peano: il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = 3\sqrt[3]{y^2(x)}\\
y(0)=0
\end{cases}
\]
che ha sì come soluzione la funzione nulla \(\bar{y}(x)=0\), ma ha anche altre soluzioni non nulle!
Per la precisione, le soluzioni non nulle del precedente PdC sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
y(x;c_1,c_2):= \begin{cases} (x-c_1)^3 & \text{, se } x\leq c_1\\
0 &\text{, se } c_1\leq x\leq c_2\\
(x-c_2)^2 &\text{, se } x\geq c_2\end{cases}
\]
con \(c_1\leq 0\leq c_2\in \mathbb{R}\).
Quindi altro che unicità... Addirittura hai una famiglia doppiamente infinita di soluzioni diverse da quella nulla!
grazie
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