[equazioni differenziali] eq diff a coefficienti costanti

[mak_87]

ciao a tutti questo è il mio primo topic e avrei bisogno di una mano circa le soluzioni di una equazione differenziale a coefficienti costanti a termine noto di tipo particolare cioè un'espressione del tipo:
$y^(n)+y^(n-1)+...y=e^x(p(x)cos(betax)+q(x)sen(betax))$ dove $p(x)$ e $q(x)$ sono polinomi di grado p ed n e a coefficienti reali. Il mio problema è , anche perchè il mio testo nn è chiaro, che quando l'equazione algebrica caratteristica associata all'equazione differenziale omogenea presenta soluzioni che hanno una certa molteplicità $k$, nn capico quando bisogna moltiplicare l'espressione dell'integrale particolare per $x^k$ e quando nn bisogna farlo. Spero che possiate aiutarmi e vi ringrazio anticipatamente per le risposte

[alberto861]

operando le sostituzioni $y^k=v_k$ k=1,...n ottieni che l'equazione si trasforma in un sistema lineare del primo ordine con matrice associata di ordine n che è la matrice identità di ordine n in cui però l'ultima riga sono tutti uno e come termine noto un vettore con le prime n-1 componenti nulle e l'ultima la funzione di x che hai a sinistra..devi risolvere il sistema usando l'esponenziale di matrici e la formula di duhamel guarda qui per i dettagli
http://www.mat.uniroma1.it/people/mascia/edo0607.html
in "note e fogli di esercizi" II parte