Equazioni differenziali e metodo di Lagrange
Ciao. Sto preparando un esame e studiando sulle dispense del professore, però è spiegato male e non capisco.. quindi ho trovato altre dispense, decisamente più chiare e trovate in rete, del Prof. Tauraso. Il problema è che a volte il mio prof specifica "calcola col metodo xxx" e quindi son fregato.
comunque, quello che volevo chiedervi, è un chiarimento sulla teoria di risoluzione, che illustro qua sotto:
Dalle dispense del mio prof (risoluzione secondo metodo Lagrande):
Sia $y'=g(x)y + h(x)$ e $y(x_0)=y_0$ e le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ siano continue in un intervallo I contenente $x_0$, allora l'unica soluzione del problema di Cauchy:
${y'=g(x)y + h(x)$
${y(x_0)=A$
è la funzione $y(x)=C(x)*e^(G(x))$, ove $G(x) = int_(x_0)^(x) g(s) ds$ e $C(x)=A + int:(x_0)^(x) e^(-G(s)) h(s) ds$
quello che non capisco è... quella $s$ da dove salta fuori?!
La formula risolutiva che conosco io e con cui mi trovo meglio è:
$y(x)=e^(A(x))[int e^(A(x)) f(x) dx + c]$
che a me sembra piuttosto simile a quella che postato precedentemente. Ma è lo stesso "metodo di Lagrange" oppure è un metodo diverso?
Inoltre, da dove arriva la $g(s)$ della formula precedente?
Grazie per ogni chiarimento sull'argomento!
comunque, quello che volevo chiedervi, è un chiarimento sulla teoria di risoluzione, che illustro qua sotto:
Dalle dispense del mio prof (risoluzione secondo metodo Lagrande):
Sia $y'=g(x)y + h(x)$ e $y(x_0)=y_0$ e le funzioni $g(x)$ e $h(x)$ siano continue in un intervallo I contenente $x_0$, allora l'unica soluzione del problema di Cauchy:
${y'=g(x)y + h(x)$
${y(x_0)=A$
è la funzione $y(x)=C(x)*e^(G(x))$, ove $G(x) = int_(x_0)^(x) g(s) ds$ e $C(x)=A + int:(x_0)^(x) e^(-G(s)) h(s) ds$
quello che non capisco è... quella $s$ da dove salta fuori?!
La formula risolutiva che conosco io e con cui mi trovo meglio è:
$y(x)=e^(A(x))[int e^(A(x)) f(x) dx + c]$
che a me sembra piuttosto simile a quella che postato precedentemente. Ma è lo stesso "metodo di Lagrange" oppure è un metodo diverso?
Inoltre, da dove arriva la $g(s)$ della formula precedente?
Grazie per ogni chiarimento sull'argomento!
Risposte
nessuno? 
E' solo una variabile usata per l'integrazione: la formula che usi tu, se osservi bene, è quella di un integrale indefinito. Nei tuoi appunti invece la formula è espressa in termini di integrale definito: allora usiamo $s$ come variabile di integrazione per non creare confusione. Infatti nota queste due scritture:
[tex]F(x)=\int_{x_0}^x f(x)\ dx,\qquad F(x)=\int_{x_0}^x f(s)\ ds$[/tex]
La prima risulta poco chiara, in quanto sembra che la x sia la variabile di integrazione e contemporaneamente un estremo! Nella seconda questo problema non si pone, in quanto è chiaro che la $x$ rappresenta la variabile che serve a definire la funzione integrale $F(x)$.
[tex]F(x)=\int_{x_0}^x f(x)\ dx,\qquad F(x)=\int_{x_0}^x f(s)\ ds$[/tex]
La prima risulta poco chiara, in quanto sembra che la x sia la variabile di integrazione e contemporaneamente un estremo! Nella seconda questo problema non si pone, in quanto è chiaro che la $x$ rappresenta la variabile che serve a definire la funzione integrale $F(x)$.
ah, capito...
Quindi le due formule sono equivalenti, giusto?
Quindi le due formule sono equivalenti, giusto?
Certo... anche se quando risolvi il problema di Cauchy sarebbe sempre meglio usare quella con gli estremi di integrazione.
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