Equazioni differenziali e dimensione del sottospazio.
Sono sempre io, scusate l'ansia della mia presenza!
Ho un'equazione differenziale alla quale associo l'equazione caratteristica:
$lambda^3+lambda*(1-a^2)-a=0$
Ho:
$V= {y :R\rightarrowR : $ y soluzione e $ \lim_{x \to \infty}y(x)\=0 }$
Devo trovare la dimensione di V al variare di a.
Intanto so che essendo un equazione di 3° grado dovrei avere 3 soluzioni. Avevo pensato di risolverlo con la matrice associata e vedere per quali valori di a il rango fosse uguale a 0. Ma avendo una sola incognita non saprei che matrice impostare.
$((1,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,(1-a^2),0),(0,0,0,-a))$ Potrebbe andare bene? So che sicuramente non ha rango massimo. Trovo un minore 3x3 e vedo per quali a è =0 e poi faccio le casistiche.
Il libro però fa in un modo diverso. Seguendo il suo ragionamento, mi scompone il polinomio in $(lambda-a)*(lambda^2+lambda*a+1)=0$
Ma non capisco come abbia fatto a riscrivermelo in questo modo. Ha applicato Ruffini?
Ho un'equazione differenziale alla quale associo l'equazione caratteristica:
$lambda^3+lambda*(1-a^2)-a=0$
Ho:
$V= {y :R\rightarrowR : $ y soluzione e $ \lim_{x \to \infty}y(x)\=0 }$
Devo trovare la dimensione di V al variare di a.
Intanto so che essendo un equazione di 3° grado dovrei avere 3 soluzioni. Avevo pensato di risolverlo con la matrice associata e vedere per quali valori di a il rango fosse uguale a 0. Ma avendo una sola incognita non saprei che matrice impostare.
$((1,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,(1-a^2),0),(0,0,0,-a))$ Potrebbe andare bene? So che sicuramente non ha rango massimo. Trovo un minore 3x3 e vedo per quali a è =0 e poi faccio le casistiche.
Il libro però fa in un modo diverso. Seguendo il suo ragionamento, mi scompone il polinomio in $(lambda-a)*(lambda^2+lambda*a+1)=0$
Ma non capisco come abbia fatto a riscrivermelo in questo modo. Ha applicato Ruffini?
Risposte
Va bene l'ansia, ma non puoi aver dimenticato tutto il calcolo letterale studiato alle superiori...
Non ho fatto liceo scientifico o simili. Vengo da un artistico dunque ho proprio lacune su questi passaggi minori
Ciao vivi96,
No, semplice raccoglimento parziale, differenza di quadrati e poi raccoglimento totale:
$ \lambda^3 + \lambda (1 - a^2) - a = 0 $
$ \lambda^3 + lambda - a^2 \lambda - a = 0 $
$ \lambda^3 - a^2 \lambda + \lambda - a = 0 $
$ \lambda(\lambda^2 - a^2) + (\lambda - a) = 0 $
$ \lambda(\lambda - a)(\lambda + a) + (\lambda - a) = 0 $
$ (\lambda - a)(\lambda(\lambda + a) + 1) = 0 $
$ (\lambda - a)(\lambda^2 + a\lambda + 1) = 0 $
"vivi96":
Ma non capisco come abbia fatto a riscrivermelo in questo modo. Ha applicato Ruffini?
No, semplice raccoglimento parziale, differenza di quadrati e poi raccoglimento totale:
$ \lambda^3 + \lambda (1 - a^2) - a = 0 $
$ \lambda^3 + lambda - a^2 \lambda - a = 0 $
$ \lambda^3 - a^2 \lambda + \lambda - a = 0 $
$ \lambda(\lambda^2 - a^2) + (\lambda - a) = 0 $
$ \lambda(\lambda - a)(\lambda + a) + (\lambda - a) = 0 $
$ (\lambda - a)(\lambda(\lambda + a) + 1) = 0 $
$ (\lambda - a)(\lambda^2 + a\lambda + 1) = 0 $
Grazie mille! Mentre per il ragionamento relativo alla matrice per trovare la dimensione, è sbagliato?
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