Equazioni Differenziali Domanda
Salve ragazzi avrei un dubbio sulla particolare forma e risoluzione di quest'equazione differenziale.
Questa è l'equazione fondamentale della dinamica per un punto materiale libero:
$ m * a= F(P,v,t) $ FORMULA 1
Io sono abituato ad analizzare equazioni differenziali del tipo: $ (x^2+xy+y^2)dx-x^2dy=0 $
Oppure $ y^|+1/xy=1/xlogx*y^2 $
Mi spiegate la differenza tra queste due tipologie differenti di scritture?
Intendo dire, nella FORMULA 1, la Forza dipende dalla velocità dal tempo e dalla posizione? Se dovessi risolverla come la risolverei con le condizioni iniziali di P(t0)=P0 e v(t0)= v0
Grazie
Questa è l'equazione fondamentale della dinamica per un punto materiale libero:
$ m * a= F(P,v,t) $ FORMULA 1
Io sono abituato ad analizzare equazioni differenziali del tipo: $ (x^2+xy+y^2)dx-x^2dy=0 $
Oppure $ y^|+1/xy=1/xlogx*y^2 $
Mi spiegate la differenza tra queste due tipologie differenti di scritture?
Intendo dire, nella FORMULA 1, la Forza dipende dalla velocità dal tempo e dalla posizione? Se dovessi risolverla come la risolverei con le condizioni iniziali di P(t0)=P0 e v(t0)= v0
Grazie
Risposte
E' semplicemente una questione di sostituire le derivate con i termini cinematici. Se $x=x(t)$ è la posizione (e l'incognita della equazione) allora dovresti sapere che $v=x'(t), a=x''(t)$ (velocità e accelerazione sono la derivata prima e seconda dello spazio rispetto al tempo. Quindi l'equazione della dinamica diventa
$$mx''=F(x,x',t)$$
$$mx''=F(x,x',t)$$
"ciampax":
E' semplicemente una questione di sostituire le derivate con i termini cinematici. Se $x=x(t)$ è la posizione (e l'incognita della equazione) allora dovresti sapere che $v=x'(t), a=x''(t)$ (velocità e accelerazione sono la derivata prima e seconda dello spazio rispetto al tempo. Quindi l'equazione della dinamica diventa
$$mx''=F(x,x',t)$$
Grazie per la risposta
E come si risolve l'equazione che hai scritto?
Bé, dipende. In generale è una equazione di secondo ordine. La funzione $F$ potrebbe avere differenti espressioni, lineari, non lineari e altro. Non c'è un metodo standard: quello che si fa è analizzarla a seconda dei casi, sfruttando le conoscenze base delle differenti tipologie di equazioni differenziali che di solito vengono studiate in un corso di analisi.
"ciampax":
Bé, dipende. In generale è una equazione di secondo ordine. La funzione $F$ potrebbe avere differenti espressioni, lineari, non lineari e altro. Non c'è un metodo standard: quello che si fa è analizzarla a seconda dei casi, sfruttando le conoscenze base delle differenti tipologie di equazioni differenziali che di solito vengono studiate in un corso di analisi.
Grazie mille!
Avrei un'altra domanda riguardante un passaggio che non ho capito. Riguarda le forze conservative e gli integrali primi.
Ho la seguente relazione $ F=m * a $ Formula 1
che diventa $ 0=v (ma-F) $ Formula 2
$ m* d(1/2 v*v)/dt - grad U * v $ Formula 3
$ d(1/2mv^2-U)/dt $ Formula 4
$ 1/2mv^2-U= Costante =E $ Formula 5
Nella formula 3 non ho capito come sia arrivato 1/2 e come possa il vettore v entrare all'interno della derivata rispetto al tempo.Inoltre nella formula 4 non ho capito come possa sparire il gradiente di U entrando all'interno della derivata.
Grazie mille in anticipo! Sono un paio di giorni che non riesco a capire questi passaggi.
Scriviamo un po' meglio: uso la freccia per indicare i vettori e il "pallino" per il prodotto scalare. Quindi abbiamo che $\vec{F}=m\vec{a}$ diventa
$$\vec{v}\bullet(m\vec{a}-\vec{F})=0\ \Rightarrow m\vec{v}\bullet\vec{a}-\vec{v}\bullet\vec{F}=0$$
Adesso osserviamo che avendosi $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$ si ha
$$\frac{dv^2}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{v}\bullet\vec{v})=\vec{a}\bullet\vec{v}+\vec{v}\bullet\vec{a}=2\vec{v}\bullet\vec{a}$$
e quindi
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)=\vec{v}\bullet\vec{a}$$
da cui la formula 3
$$m\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)-\nabla U\bullet\vec{v}=0$$
Per arrivare alla formula 4, invece, si utilizza la derivazione delle funzioni composte: infatti, se $\vec{x}=(x,y,z)$ è il vettore posizione, possiamo scrivere $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})$ e quindi
$$\frac{dU}{dt}=\frac{\partial U}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial U}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}+\frac{\partial U}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dt}=\nabla U\bullet \vec{v}$$
e quindi otteniamo la formula quattro
$$m\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)-\frac{dU}{dt}=0$$
o anche
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2-U\right)=0$$
da cui
$$\frac{1}{2}mv^2-U=cost$$
$$\vec{v}\bullet(m\vec{a}-\vec{F})=0\ \Rightarrow m\vec{v}\bullet\vec{a}-\vec{v}\bullet\vec{F}=0$$
Adesso osserviamo che avendosi $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$ si ha
$$\frac{dv^2}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{v}\bullet\vec{v})=\vec{a}\bullet\vec{v}+\vec{v}\bullet\vec{a}=2\vec{v}\bullet\vec{a}$$
e quindi
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)=\vec{v}\bullet\vec{a}$$
da cui la formula 3
$$m\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)-\nabla U\bullet\vec{v}=0$$
Per arrivare alla formula 4, invece, si utilizza la derivazione delle funzioni composte: infatti, se $\vec{x}=(x,y,z)$ è il vettore posizione, possiamo scrivere $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})$ e quindi
$$\frac{dU}{dt}=\frac{\partial U}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial U}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}+\frac{\partial U}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dt}=\nabla U\bullet \vec{v}$$
e quindi otteniamo la formula quattro
$$m\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)-\frac{dU}{dt}=0$$
o anche
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2-U\right)=0$$
da cui
$$\frac{1}{2}mv^2-U=cost$$
"ciampax":
Scriviamo un po' meglio: uso la freccia per indicare i vettori e il "pallino" per il prodotto scalare. Quindi abbiamo che $\vec{F}=m\vec{a}$ diventa
$$\vec{v}\bullet(m\vec{a}-\vec{F})=0\ \Rightarrow m\vec{v}\bullet\vec{a}-\vec{v}\bullet\vec{F}=0$$
Adesso osserviamo che avendosi $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$ si ha
$$\frac{dv^2}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{v}\bullet\vec{v})=\vec{a}\bullet\vec{v}+\vec{v}\bullet\vec{a}=2\vec{v}\bullet\vec{a}$$
e quindi
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)=\vec{v}\bullet\vec{a}$$
da cui la formula 3
$$m\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)-\nabla U\bullet\vec{v}=0$$
Per arrivare alla formula 4, invece, si utilizza la derivazione delle funzioni composte: infatti, se $\vec{x}=(x,y,z)$ è il vettore posizione, possiamo scrivere $\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})$ e quindi
$$\frac{dU}{dt}=\frac{\partial U}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial U}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}+\frac{\partial U}{\partial z}\cdot\frac{dz}{dt}=\nabla U\bullet \vec{v}$$
e quindi otteniamo la formula quattro
$$m\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} v^2\right)-\frac{dU}{dt}=0$$
o anche
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2-U\right)=0$$
da cui
$$\frac{1}{2}mv^2-U=cost$$
Grazie mille per la risposta! Non ho capito solo una cosa.
Nel passaggio per ricavare la formula 4, io considero il vettore posizione $ vec(x) $ con le sue componenti..
Dopo considero le componenti del gradiente della generica funzione U scalare. Ovvero $ (partial U)/(partial x) $
$ (partial U)/(partial y) $ e $ (partial U)/(partial z) $ . Dopo faccio il prodotto di questi due vettori matricialmente parlando?
Cioè riga per colonna? Infine come mai chiami il prodotto $ gradU *vec(v) =dU/dt $
Grazie mille ancora!
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