Equazioni differenziali di secondo ordine non omogenee
Sto cercando di risolvere varie equazioni differenziali di secondo ordine non omogenee, a coefficienti costanti. Per alcune il procedimento è abbastanza semplice, per altre sto avendo alcuni problemi.
Ad esempio:
$ y'' - y = sqrt(1+e^x) $
Si ha:
$ \lambda^2-1=0 $, $ \lambda_1 = 1 $, $ \lambda_2 = -1 $
La soluzione dell'equazione omogenea associata è quindi:
$ y_0(x) = c_1e^x + c_2e^(-x) $
Una soluzione particolare sarebbe:
$ y_p(x) = \gamma_1(x)e^x + \gamma_2(x)e^(-x) $
Ora il problema è proprio qui. Applicando il metodo della variazione delle costanti, gli integrali per trovare $ \gamma_1 $ e $ \gamma_2 $ non sono molto semplici né veloci da calcolare (lo stesso lo verifico per altre equazioni, come $ y''+9y = 1/(cos^3x) $).
Volevo sapere se c'era qualche altro metodo più semplice e veloce per trovare la soluzione dell'equazione, perché questo non è nessuno dei casi particolari di cui sono a conoscenza.
Ad esempio:
$ y'' - y = sqrt(1+e^x) $
Si ha:
$ \lambda^2-1=0 $, $ \lambda_1 = 1 $, $ \lambda_2 = -1 $
La soluzione dell'equazione omogenea associata è quindi:
$ y_0(x) = c_1e^x + c_2e^(-x) $
Una soluzione particolare sarebbe:
$ y_p(x) = \gamma_1(x)e^x + \gamma_2(x)e^(-x) $
Ora il problema è proprio qui. Applicando il metodo della variazione delle costanti, gli integrali per trovare $ \gamma_1 $ e $ \gamma_2 $ non sono molto semplici né veloci da calcolare (lo stesso lo verifico per altre equazioni, come $ y''+9y = 1/(cos^3x) $).
Volevo sapere se c'era qualche altro metodo più semplice e veloce per trovare la soluzione dell'equazione, perché questo non è nessuno dei casi particolari di cui sono a conoscenza.
Risposte
Di solito per le equazioni differenziali di secondo ordine a coefficienti costanti, o si utilizza il metodo di somiglianza, oppure quello di variazione delle costanti. Prova a postare gli ultimi passaggi, forse c'è qualche piccolo errore che ti blocca il procedimento.
$\{ (\gamma_1'(x)e^x+\gamma_2'(x)e^(-x)= 0),(\gamma_1'(x)e^x-\gamma_2'(x)e^(-x)=sqrt(1+e^x)) :}$
$ -\gamma_2'(x)e^(-x) - \gamma_2'(x)e^(-x) = sqrt(1+e^x) $
$ \gamma_2'(x) = -1/2 sqrt(1+e^x) e^x $
$ \gamma_2(x) = -sqrt( (1+e^x)^3 ) / 3 $
$ \gamma_1'(x) = 1/2 sqrt(1+e^x) / e^x $
Quest'ultima espressione da integrare è un pò lunghetta. Ho pensato di risoverla ponendo $ t = sqrt(1+e^x) $, avendo così $ \int t^2 / (t^2-1)^2 dt $, ma comunque è un integrale lungo da risolvere.
$ -\gamma_2'(x)e^(-x) - \gamma_2'(x)e^(-x) = sqrt(1+e^x) $
$ \gamma_2'(x) = -1/2 sqrt(1+e^x) e^x $
$ \gamma_2(x) = -sqrt( (1+e^x)^3 ) / 3 $
$ \gamma_1'(x) = 1/2 sqrt(1+e^x) / e^x $
Quest'ultima espressione da integrare è un pò lunghetta. Ho pensato di risoverla ponendo $ t = sqrt(1+e^x) $, avendo così $ \int t^2 / (t^2-1)^2 dt $, ma comunque è un integrale lungo da risolvere.
Coi fratti semplici non è impossibile:
[tex]$\frac{t^2}{(t^2 -1)^2} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{(t+1)^2} +\frac{C}{t-1} +\frac{D}{(t-1)^2}$[/tex]
[tex]$\frac{t^2}{(t^2 -1)^2} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{(t+1)^2} +\frac{C}{t-1} +\frac{D}{(t-1)^2}$[/tex]
No lo so che non è impossibile, dico soltanto che è lungo da calcolare così come altri integrali che devo risolvere per altri esercizi del genere. Perciò mi chiedevo se esistesse un metodo più veloce per trovare una soluzione particolare. Se non esiste, pazienza!
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