Equazioni differenziali di Lagrange del primo ordine

[pirosardens]

Salve a tutti avrei una domanda da fare riguardo alla dimostrazione che fa il libro sulle equazioni differenziali di lagrange nella forma:

$ y = x α(y')+β(y') $

riporto la dimostrazione del libro che mi è chiara:

Supponendo le funzioni α e β continue in un certo intervallo I si pone y' = p e $ alpha(p) != p $

$ y = x alpha(p)+β(p) $

Si deriva rispetto ad x ottenendo:

$ y' =alpha(p) + x*alpha'(p)*p'+β'(p)p' $



poichè: $ y' =p e p' = (dp)/dx $

si scrive:

$ p = alpha (p) + x* alpha' (p) *(dp)/dx + β'(p) *(dp)/dx rArr p - alpha (p) = [x* alpha' (p)+ β'(p)]*(dp)/dx $

quindi:

$[p - alpha (p)] * (dx)/dp= x* alpha' (p)+ β'(p)$

da cui:

$ (dx)/(dp)= x* (alpha'(p))/(p - alpha (p)) + (β'(p))/(p - alpha (p)) $

alla fine la soluzione generale si otterrà con:

${ ( x = F(p)),( y = F(p) * alpha(x) + β(p) ):}$

La spiegazione è chiara e lineare poi passa ad un esempio:

Si consideri l'equazione di Lagrange:

$ y = 2xy'-(y')^2 $

si pone $ y' = p $

quindi si ottiene :

$ y =2x p - p^2 $

$ alpha(p) =2p $ $ β(p) =p^2 $

fino qui tutto lineare ma adesso mi fa la derivata delle funzioni:

$ alpha'(p) =2 $ $ β'(p) =2p $

questo è il passaggio che non mi è chiaro la derivata appena fatta è rispetto a p mentre nella dimostrazine le due derivate erano rispetto a x $ alpha'(p) β'(p) $
mi spiegate il passaggio ??? Perchè è possibile passare dalla derivata in x alla derivata in p credo di essermi perso qualcosa....

Per copletezza finsco l'esercizio:

utilizzando la formula:

$ (dx)/(dp)= x* (alpha'(p))/(p - alpha (p)) + (β'(p))/(p - alpha (p)) $

$ (dx)/(dp)= x* (2)/(p - 2p) + (-2p)/(p - 2p) $

$ x'= (-2)/(p)* x + 2 $

$ x'+ (2)/(p)* x = 2 $

da qui si utilizza la formula di risoluzione delle equazioni differenziali:
ch partendo da $ y' + p(x)y = q(x) $

$ y = e^(-int(p(x))dx)*[q(x)*e^(int(p(x))dx)+ c] $

facendo gli opportuni cambi di variabile si ottiene:

$ x = e^(-int(2/p dp) ) * [int2*e^(int2/p dp)+c]$

risolvendo l'espressione si ottiene

$ x = 2/3p +c*p^-2$

questa espressione ottenuta si sotituisce nella formula:

$ y = 2xp-p^2$

ottenendo:

$ y =1/3 p^2-2c*p^-1$

applicanfo la formula

${ ( x = F(p)),( y = F(p) * alpha(x) + β(p) ):}$

si ha la soluzione generale:

${ (x = 2/3p +c*p^-2),( y =1/3 p^2-2c*p^-1):}$

Grazie mille in anticipo a chi rispondera al mio dubbio.

[gugo82]

Gli apici di derivazione vicino ad $ alpha$ e $ beta$ denotano derivazione rispetto a $p$, non ad $x$.

[pirosardens]

si ma nella dimostrazione il libro scrive chiaramente si deriva rispetto ad e mi trovo con la derivata del prodotto rispetto ad x.
il libro dice proprio e si evince poi dai passaggi:

Si deriva rispetto ad x ottenendo:

$y'=alpha(p)+x⋅alpha'(p)⋅p'+β'(p)p'$

quindi è una derivata rispetto ad x che tiene conto che in p è sepolata la x... per questo poi non mi trovo con l'esempio.
Forse sono io che mi sto flashando ma potresti spiegarmi meglio perchè dovrebbero essere derivate rispetto a p?

[gugo82]

Come funziona il teorema di derivazione della funzione composta?

[pirosardens]

Ti ripeto può essere che io mi stia sbagliando ma i passaggi che ho inteso sono questi:

$y=x*alpha(p)+β(p) $

Si deriva rispetto ad x ottenendo:

$y'=d/dx (x*alpha(p)+β(p) )$

$y'=d/dx (x*alpha(p))+d/dx( β(p) )$

la prima è una derivata di un prodotto di funzioni la seconda la svolgo con il teorema di derivazione delle funzioni composte.

$y'= alpha(p) + x*d/dx (alpha(p))+ β'(p) * p'$

applico nuovamente il teorema di derivazione delle funzioni composte e ottengo:

$y'=alpha(p)+x⋅alpha'(p)⋅p'+β'(p)*p'$

in effetti ora che l'ho applicato in maniera esplicita ho ricordato che, la derivata della funzione nel teorema di derivazione delle funzioni composte, tiene conto dell'argomento della funzione e non della variabile rispetto a cui si deriva... a furia di applicarlo meccanicamente lo avevo dimenticato... che brutta figura
Grazie per la tua risposta maieutica...

[gugo82]

Appunto.

Prego.