Equazioni differenziali di 2° ordine non omogenee, HELP
Ciao a tutti, studiando alla grossa per il mio esame di analisi matematica 2, mi sono imbattuto nelle equazioni differenziali di 2° grado non omogenee. e lì mi sono bloccato perchè su tutti i testi che ho consultato è spiegato in modo sempre confuso, scritto in modo sempre diverso e dato altamente per scontato.
Qualcuno è così gentile da aiutarmi?
So che esistono due metodi, il metodo di somiglianza e il metodo delle costanti.
Innanzitutto non mi è chiara una cosa, l'equazione va prima risolta come nel caso omogeneo (quindi con termine noto =0, giusto?
Metodo di somiglianza
Bisogna trovare un polinomio che assomigli alla funzione f(x) che rappresenta il termine noto. Come, non l'ho assolutamente capito.
Metodo delle costanti
Questo l'ho capito ancora di meno di quello di prima.
Chiedo aiuto perchè sono proprio desperados!
Ringrazio anticipatamente tutti
Qualcuno è così gentile da aiutarmi?
So che esistono due metodi, il metodo di somiglianza e il metodo delle costanti.
Innanzitutto non mi è chiara una cosa, l'equazione va prima risolta come nel caso omogeneo (quindi con termine noto =0, giusto?
Metodo di somiglianza
Bisogna trovare un polinomio che assomigli alla funzione f(x) che rappresenta il termine noto. Come, non l'ho assolutamente capito.
Metodo delle costanti
Questo l'ho capito ancora di meno di quello di prima.
Chiedo aiuto perchè sono proprio desperados!
Ringrazio anticipatamente tutti
Risposte
Con "secondo grado" intendi dire che nell'equazione compaiono la funzione e le sue derivate elevate alla seconda (tipo $y^2,(y')^2, (y'')^2$ etc...)?
Se intendi dire che nell'equazione compaiono le derivate fino a quelle del secondo ordine (cioè $y,y',y''$), l'espressione "di secondo grado" è sbagliata: la dizione corretta è equazione differenziale del secondo ordine.
Chiarisci meglio la questione e poi ci risentiamo.
Se intendi dire che nell'equazione compaiono le derivate fino a quelle del secondo ordine (cioè $y,y',y''$), l'espressione "di secondo grado" è sbagliata: la dizione corretta è equazione differenziale del secondo ordine.
Chiarisci meglio la questione e poi ci risentiamo.
scusa, in effetti è del secondo ordine 
Equazione differenziale del secondo ordine lineare inomogenea: $y''(x)+a(x)*y'(x)+b(x)*y(x)=f(x)$
Se i coefficienti non sono costanti non esiste una ricetta per arrivare alla soluzione. Mettiamo quindi $a(x)$ e $b(x)$ funzioni costanti.
Ora il tuo problema era l'inomogeneità: possiamo avere per esempio i seguenti esempi:
1) $f(x)=x^m$
2) $f(x)=e^(h*x)$
3) $f(x)=sin(w*x)$
...
Il problema è come trovare un'equazione particolare della soluzione generale dell'equazione differenziale inomogenea (per l'omogenea è facile, visto che $f(x)=0$ e procedi come al solito con il polinomio caratteristico...)
Vediamo punto per punto i casi sopra citati:
1) un'equazione da provare può essere un polinomio di grado $m$ stesso o in caso non andasse bene di grado maggiore;
2) qui usa funzioni tipo $A*e^(h*x)$ con $A$ costante. Se non andasse bene provi con $A*x*e^(h*x)$ e quindi aumenti ancora il grado del polinomio se hai ancora fallimento.
3) qua puoi provare con un'espressione del tipo: $A*sin(w*x)+B*cos(w*x)$ oppure scrivi il seno come la parte immaginaria dell'esponenziale complessa $e^(iw*x)$
Come vedi non ci sono ricette, questi sono le tipiche forme delle soluzioni particolari.
Cmq quello che ho scritto non si limita necessariamente al secondo ordine...
Ciao.
Se i coefficienti non sono costanti non esiste una ricetta per arrivare alla soluzione. Mettiamo quindi $a(x)$ e $b(x)$ funzioni costanti.
Ora il tuo problema era l'inomogeneità: possiamo avere per esempio i seguenti esempi:
1) $f(x)=x^m$
2) $f(x)=e^(h*x)$
3) $f(x)=sin(w*x)$
...
Il problema è come trovare un'equazione particolare della soluzione generale dell'equazione differenziale inomogenea (per l'omogenea è facile, visto che $f(x)=0$ e procedi come al solito con il polinomio caratteristico...)
Vediamo punto per punto i casi sopra citati:
1) un'equazione da provare può essere un polinomio di grado $m$ stesso o in caso non andasse bene di grado maggiore;
2) qui usa funzioni tipo $A*e^(h*x)$ con $A$ costante. Se non andasse bene provi con $A*x*e^(h*x)$ e quindi aumenti ancora il grado del polinomio se hai ancora fallimento.
3) qua puoi provare con un'espressione del tipo: $A*sin(w*x)+B*cos(w*x)$ oppure scrivi il seno come la parte immaginaria dell'esponenziale complessa $e^(iw*x)$
Come vedi non ci sono ricette, questi sono le tipiche forme delle soluzioni particolari.
Cmq quello che ho scritto non si limita necessariamente al secondo ordine...
Ciao.
Mi dispiace contraddire chi ha postato prima di me, ma una ricetta generale per una classe ristretta di termini noti c'è:
Evidentemente questo teorema ti aiuta solo nel caso in cui il termine noto sia esprimibile nella forma $e^(alpha x)*(P_1(x)*cos beta x+P_2(x)*sin beta x)$, altrimenti non te ne fai nulla.
Nel caso generale bisogna ricorrere al metodo di Lagrange della variazione delle costanti: questo metodo si basa sul seguente teorema:
Sia $y''+ay'+by=f(x)$ una equazione differenziale ordinaria del second'ordine a coefficienti costanti ($a,b in RR$) con termine noto $f in C(RR)$.
Se $f(x)=e^(alpha x)*(P_1(x)*cos beta x+P_2(x)*sin beta x)$, ove $alpha,beta in RR$ e $P_1,P_2$ sono applicazioni polinomiali di grado $v_1,v_2$ rispettivamente, allora un integrale particolare dell'equazione assegnata è nella forma:
1) $bary(x)=e^(alpha x)*(Q_1(x)*cos beta x+Q_2(x)*sin beta x)$, con $Q_1,Q_2$ applicazioni polinomiali di grado uguale a $max{v_1,v_2}$, se il numero complesso $alphapm i*beta$ non è radice del polinomio caratteristico $lambda^2+a*lambda+b$ associato all'equazione;
2) $bary(x)=e^(alpha x)*(x*Q_1(x)*cosbeta x+x*Q_2(x)*sin beta x)$, con $Q_1,Q_2$ applicazioni polinomiali di grado uguale a $max{v_1,v_2}$, se il numero complesso $alpha pmi*beta$ è radice del polinomio caratteristico $lambda^2 +a*lambda+b$ associato all'equazione.
Evidentemente questo teorema ti aiuta solo nel caso in cui il termine noto sia esprimibile nella forma $e^(alpha x)*(P_1(x)*cos beta x+P_2(x)*sin beta x)$, altrimenti non te ne fai nulla.
Nel caso generale bisogna ricorrere al metodo di Lagrange della variazione delle costanti: questo metodo si basa sul seguente teorema:
Sia $y''+ay'+by=f(x)$ una equazione differenziale ordinaria del second'ordine a coefficienti costanti ($a,b in RR$) con termine noto $f in C(RR)$.
Dette $y_1,y_2$ due soluzioni indipendenti dell'equazione differenziale omogenea $y''+ay'+by=0$, un integrale particolare della equazione non omogenea assegnata è nella forma:
$bary(x)=gamma_1(x)*y_1(x)+gamma_2(x)*y_2(x) quad$,
in cui $gamma_1,gamma_2 in C^2(RR)$ sono da determinarsi integrando rispetto ad $x$ le soluzioni $gamma'_1(x),gamma'_2(x)$ (calcolabili col metodo di Kramer) del seguente sistema:
$\{(y_1(x)*gamma'_1(x)+y_2(x)*gamma'_2(x)=0),(y'_1(x)*gamma'_1(x)+y'_2(x)*gamma'_2(x)=f(x)):} quad$;
quindi:
$gamma_1(x)=\int (|(0,y_2(x)),(f(x),y'_2(x))|)/(|(y_1(x),y_2(x)),(y'_1(x),y'_2(x))|)" d"x=\int -(f(x)*y_2(x))/(y_1(x)*y'_2(x)-y'_1(x)*y_2(x))" d"x$
$gamma_2(x)=\int (|(y_1(x),0),(y'_1(x),f(x))|)/(|(y_1(x),y_2(x)),(y'_1(x),y'_2(x))|)" d"x=\int (f(x)*y_1(x))/(y_1(x)*y'_2(x)-y'_1(x)*y_2(x))" d"x quad$.
"gugo82":
Mi dispiace contraddire chi ha postato prima di me, ma una ricetta generale per una classe ristretta di termini noti c'è:
Sia $y''+ay'+by=f(x)$ una equazione differenziale ordinaria del second'ordine a coefficienti costanti ($a,b in RR$) con termine noto $f in C(RR)$.
Se $f(x)=e^(alpha x)*(P_1(x)*cos beta x+P_2(x)*sin beta x)$, ove $alpha,beta in RR$ e $P_1,P_2$ sono applicazioni polinomiali di grado $v_1,v_2$ rispettivamente, allora un integrale particolare dell'equazione assegnata è nella forma:
1) $bary(x)=e^(alpha x)*(Q_1(x)*cos beta x+Q_2(x)*sin beta x)$, con $Q_1,Q_2$ applicazioni polinomiali di grado uguale a $max{v_1,v_2}$, se il numero complesso $alphapm i*beta$ non è radice del polinomio caratteristico $lambda^2+a*lambda+b$ associato all'equazione;
2) $bary(x)=e^(alpha x)*(x*Q_1(x)*cosbeta x+x*Q_2(x)*sin beta x)$, con $Q_1,Q_2$ applicazioni polinomiali di grado uguale a $max{v_1,v_2}$, se il numero complesso $alpha pmi*beta$ è radice del polinomio caratteristico $lambda^2 +a*lambda+b$ associato all'equazione.
Indubbiamente ciò che scrivi è giusto. La forma generale che dici, alla fine è una "combinazione" delle possibilità che ho citato io.
Visto che l'autore del post si imbatte per la prima volta in queste cose troverà inizialmente inomogeneità del tipo che ho citato singolarmente (vedi il seno/coseno o l'esponenziale o il polinomio). Di per sé non è così difficile capire il senso di queste singole "Ansatz", però bisogna impratichirsi.
Ciao.
scusate ma non mi è proprio chiaro quello che state dicendo.
io ho questa equazione, ad esempio:
y''-4y'-5y=10
calcolo l'integrale generale dell'equazione omogenea associata:
y''-4y'-5y=0
e trovo:
$y=c1e^(-x)+c2e^(5x)$
e adesso cosa devo fare???
io ho questa equazione, ad esempio:
y''-4y'-5y=10
calcolo l'integrale generale dell'equazione omogenea associata:
y''-4y'-5y=0
e trovo:
$y=c1e^(-x)+c2e^(5x)$
e adesso cosa devo fare???
E' un caso molto semplice e poco rappresentativo in quanto $f(x) $ è un polinomio di grado $0 $, cioè una costante che vale nel caso specifico $ 10$.
Usiamo il metodo della somiglianza.
Ipotizziamo che una soluzione particolare dell'equazione non omogenea sia $ y = A $ [quindi un polinomio di grado $0$] con $ A $ costante da determinare.
Inseriamo questa soluzione particolare nell'equazione non omogenea e troviamo il valore di $A$.
$y'=0; y''=0 $ e quindi : $-5A=10 $ da cui $A=-2 $.
La soluzione generale dell'eequazione non omogenea sarà quindi data dalla soluzione generale dell'omogenea associta + una soluzione particolare della non omogenea e quindi in conclusione $ y = c_1*e^(-x)+c_2*e^(5x) -2 $.
Usiamo il metodo della somiglianza.
Ipotizziamo che una soluzione particolare dell'equazione non omogenea sia $ y = A $ [quindi un polinomio di grado $0$] con $ A $ costante da determinare.
Inseriamo questa soluzione particolare nell'equazione non omogenea e troviamo il valore di $A$.
$y'=0; y''=0 $ e quindi : $-5A=10 $ da cui $A=-2 $.
La soluzione generale dell'eequazione non omogenea sarà quindi data dalla soluzione generale dell'omogenea associta + una soluzione particolare della non omogenea e quindi in conclusione $ y = c_1*e^(-x)+c_2*e^(5x) -2 $.
Ciao! ho un enorme problema con la risoluzione dei differenziali!!qualcuno può aiutarmi e spiegarmi come funzionano?
$y''+y'=3x^3 +2$
riesco ad arrivare fino al polinomio caratteristico, ($y=c_1cosx+c_2senx$), ma poi non so che devo fare!!!
grazie a tutti
$y''+y'=3x^3 +2$
riesco ad arrivare fino al polinomio caratteristico, ($y=c_1cosx+c_2senx$), ma poi non so che devo fare!!!
grazie a tutti
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