Equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee

[Amartya]

salve ragazzi il mio studio sulle equazioni differenziali stava procedendo benissimo, salvo che mi sono imbattuto in questa equazione differenziale non omogenea "particolare" che non riesco a risolvere.

L'equazione è: $y'' -3y'+2y = 2x^3 -1 -x^2 + e^(2x)$

avete qualche consiglio da darmi. In particolare non riesco a capire come trattare il termine noto.

grazie in anticipo

Emanuele

[Gi81]

L'omogenea associata sei in grado di risolverla.
Per quanto riguarda una soluzione particolare, prova con $hat(y)(x)=e^(2x)*(ax+b) + cx^3+dx^2+ex+f$, con $a,b,c,d,e,f in RR$

[Amartya]

si la omogenea associata la risolvo scrivendomi l'equazione caratteristica e trovando le soluzioni.

Ottengo: $y(x) =c_1*e^x + c_2*e^(2x)$.

Ma il termine noto è come se fosse l'unione di due elementi di un polinomio.

Infatti posso scriverlo nel seguente modo: $e^(0*x)*(2*(x^3)+1-x^2) + e^(3*x)$.

ma non riesco ancora ad individuare una strada.

Provo con il tuo consiglio.

Grazie

[Amartya]

mi chiedo se posso considerare la soluzione in due step.

nel primo pongo l'omogenea associata al primo $f(x)$ e cioè a $e^(0*x)*(2*(x^3) +1 -x^2)$

nel secondo step pongo l'omogenea associata uguale a $e^(3*x)$


infine unisco le soluzioni.

Forse sto sparando troppe cavolate.

Provo.

[Gi81]

Non capisco dove salta fuori $e^(3x)$... non era $e^(2x)$?
E poi, perchè moltiplicare il primo per $e^(0x)$? assolutamente inutile
Comunque, la tua idea è buona. Provala.

[Amartya]

scusami per il primo quesito ho effettivamente sbagliato a ricopiare ed il valore corretto è :$e^(3x)$

per il secondo quesito, si è inutile, solo che mi riusciva megio a visualizzare il polinomio.

Sto facendo i calcoli.

[Amartya]

l'intuizione credo si sia rivelata giusta.

La soluzione generale trovata è:

$y(x)=x^3 + 4*x^2 +9*x +10 +(e^(3x)/2) +c_1*e^x +c_2*e^(2x)$

grazie

Emanuele