Equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee

[antoniox88]

Ciao a tutti, non riesco a capire come si trova la soluzione particolare e in che modo influisce la molteplicita' sulle soluzioni.Il mio professore usa un metodo,come dice lui"metodo della somiglianza"........ come si applica?????

Grazie.

[Pappus]

io non conosco questo metodo della somiglianza, ma per trovare le soluzioni devi prima risolvere il caso omogeneo, azzerando cioè quello che non è in y, ottenendo due soluzioni linearmente indipendenti f e g, che generano uno spazio di soluzioni V di dimensione 2. Per trovare una soluzione particolare h (di quello non omogeneo) puoi provare con il metodo di variazione delle costanti. Le tue soluzione zsono tutte del tipo h+V.
ciao

[amel3]

Un'equazione differenziale di ordine $n>=1$, pur con tutte le regolarità del caso, non è in generale semplice da integrare: per $n=1$ esistono metodi elementari di risoluzione per pochissime classi di equazioni differenziali.
Per $n=1$, si può, però, stare "tranquilli" sulle equazioni lineari: esiste la classica formula che consente di determinare la soluzione generale senza problemi.
Per $n>1$ tutto diventa più difficile e sono veramente pochi i metodi di risoluzione elementari noti. Non è neanche più possibile avere una formula generale per la risoluzione di un'equazione differenziale lineare. Tuttavia, l'algebra permette almeno di integrare senza problemi una classe più ristretta, cioè le equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti (di ordine $n$), cioè del tipo:
$y^(n) (t)+a_(n-1)y^(n-1) (t)+...+a_1 y(t)=0$ (1)
Il metodo è quello classico: si scrive l'equazione caratteristica eccetera eccetera...
Per fortuna, però, un teorema ci dice che, una volta trovato l'integrale generale dell'equazione omogenea (1), si può anche trovare l'integrale generale di una corrispondente equazione lineare non omogenea a coefficienti costanti, cioè di questo tipo:
$y^(n) (t)+a_(n-1)y^(n-1) (t)+...+a_1 y(t)=b(t)$ (2).
E' richiesto, però, che si sappia determinare una soluzione particolare della (2). Una volta trovata, basta addizionarla in pratica all'integrale generale dell'omogenea associata e il gioco è fatto: ecco l'integrale generale della non omogenea.
Il vero problema è che spesso è difficile, se non impossibile, trovare una soluzione particolare.
Il metodo o regola della somiglianza, ad esempio, funziona solo se il coefficiente $b(t)$ è di una forma particolare, cioè in forma polinomiale, trigonometrica o esponenziale (sto sul vago ovviamente). Certo è che sempre meglio che niente...
Inoltre, come ha detto anche Pappus, c'è anche il metodo della variazione delle costanti, che però può anche non funzionare...
Certo è che, se ad esempio, $b(t)=e^t sin 2t$, il metodo della somiglianza è rapido e vai sul sicuro (anche se bisogna ricordarla, la formuletta).
Se vuoi sapere dove trovare la regola della somiglianza, ti mando un mp con una pagina che la riassume adeguatamente.
Spero di non aver scritto troppe castronerie, vista l'ora...
Ciao