Equazioni differenziali del secondo ordine con condizioni al contorno
Salve a tutti mi sono imbattuto in questo problema ma che non sono capace di risolvere:
devo trovare una soluzione dela seguante equazione differenziale conoscendone le condizioni al contorno:
$ y'' =-y $
$ y(pi/2) = 2*y(0) $ $ y(pi/4) = 3 $
l'unico esempio che abbiamo fatto era con un equazione a derivate parziali e non ho capito molto di quello che ha fatto anche perchè era un caso particolare.
dato che stiamo lavorando con funzioni a una variabile so che l'intervallo di definizione della y è proprio ]pi/4, pi/2[ .
ho fatto una prova moltiplicando da entambe le parti per la derivata prima e poi integrando ma se non mi danno nessuna informazione sul valore della derivata prima non riesco a procedere con l'esercizio.
Qualcuno può aiutarmi?
devo trovare una soluzione dela seguante equazione differenziale conoscendone le condizioni al contorno:
$ y'' =-y $
$ y(pi/2) = 2*y(0) $ $ y(pi/4) = 3 $
l'unico esempio che abbiamo fatto era con un equazione a derivate parziali e non ho capito molto di quello che ha fatto anche perchè era un caso particolare.
dato che stiamo lavorando con funzioni a una variabile so che l'intervallo di definizione della y è proprio ]pi/4, pi/2[ .
ho fatto una prova moltiplicando da entambe le parti per la derivata prima e poi integrando ma se non mi danno nessuna informazione sul valore della derivata prima non riesco a procedere con l'esercizio.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ma no: quella è una equazione lineare del secondo ordine, c'è un metodo ben preciso per risolverla!
se intendi il metodo del polinomio caratteristico per le equazioni differenziali a coefficienti costanti lo sto studiando in qusto istante ma ho parecchi dubbi:
nell'esempio fornitoci ad esempio data l'equazione: $ y''+3y=x+2cosx $
si trova senza difficoltà che una base dello spazio delle soluzioni è $ {cos(sqrt3 x); sin( sqrt3x) } $
per trovare invece la soluzione della particolare si utilizza il principio della sovrapposizione degli effetti :
$ y''+3y=x $ una particolare è $ y=1/3x $
$ y''+3y=2cosx $ il libro scrive il sistema
$ { ( y'= a *cos(x)+b*sin(x) ),( y''= -a*cos(x)-b*sin(x)):} rightarrow a=1,b=0 rightarrowy_(par) = cos(x) $
di cui non ne capisco il senso.
spero che sia un errore di stampa e che la prima equazione a sistema sia la y e non la y' perchè provando con il metodo delle somiglianze viene fuori un sistema identico con questa sostituzione.
scusa per la domanda nella domanda.
nell'esempio fornitoci ad esempio data l'equazione: $ y''+3y=x+2cosx $
si trova senza difficoltà che una base dello spazio delle soluzioni è $ {cos(sqrt3 x); sin( sqrt3x) } $
per trovare invece la soluzione della particolare si utilizza il principio della sovrapposizione degli effetti :
$ y''+3y=x $ una particolare è $ y=1/3x $
$ y''+3y=2cosx $ il libro scrive il sistema
$ { ( y'= a *cos(x)+b*sin(x) ),( y''= -a*cos(x)-b*sin(x)):} rightarrow a=1,b=0 rightarrowy_(par) = cos(x) $
di cui non ne capisco il senso.
spero che sia un errore di stampa e che la prima equazione a sistema sia la y e non la y' perchè provando con il metodo delle somiglianze viene fuori un sistema identico con questa sostituzione.
scusa per la domanda nella domanda.
ho risolto:) grazie lo stesso:)
Tutto a posto? Se hai ancora dubbi fai sapere. In ogni caso, la scelta operata dal libro si basa su quello che viene detto "metodo di somiglianza": cioè si cerca una soluzione particolare che ricalchi la forma del termine noto.
Nel caso dei polinomi (la $x$ in questo caso) va a cercare una soluzione particolare del tipo $y=ax+b$ (polinomio generico di primo grado, come il grado del polinomio nel termine noto dell'equazione), deriva tale funzione ($y'=a,\ y''=0$), sostituisce nell'equazione e determina i valori delle costanti.
Una cosa simile è fatta nel secondo caso dove, presentandosi una funzione trigonometrica (in questo caso $\cos x$, ma sarebbe stato analogo se ci fossero stati termini del tipo $\sin(\omega x),\ \cos(\omega x)$), va a ricercare una soluzione particolare della forma $y=a\cos x+b\sin x$. Comunque sì, la prima equazione in quel sistema è $y=a\cos x+b\sin x$ (anche perché, come puoi vedere da te, la derivata seconda coincide con l'opposto di tale funzione).
Nel caso dei polinomi (la $x$ in questo caso) va a cercare una soluzione particolare del tipo $y=ax+b$ (polinomio generico di primo grado, come il grado del polinomio nel termine noto dell'equazione), deriva tale funzione ($y'=a,\ y''=0$), sostituisce nell'equazione e determina i valori delle costanti.
Una cosa simile è fatta nel secondo caso dove, presentandosi una funzione trigonometrica (in questo caso $\cos x$, ma sarebbe stato analogo se ci fossero stati termini del tipo $\sin(\omega x),\ \cos(\omega x)$), va a ricercare una soluzione particolare della forma $y=a\cos x+b\sin x$. Comunque sì, la prima equazione in quel sistema è $y=a\cos x+b\sin x$ (anche perché, come puoi vedere da te, la derivata seconda coincide con l'opposto di tale funzione).
si si ho alcuni dubbi su quel metodo ma i questo caso l'ho capito, ho fatto un altro post di un esercizio in cui infatti applicamndo il metodo della somiglianza non viene ma in questo l'ho capito.
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