Equazioni differenziali del secondo ordine
sto studiando gli strumenti del secondo ordine.
Non mi è chiaro perchè quando la soluzione dell'omogenea associata ha soluzioni a radici 'c' negativa scomponiamo $ e^(ct)$ con le formule di eulero in sen e cos
Non mi è chiaro perchè quando la soluzione dell'omogenea associata ha soluzioni a radici 'c' negativa scomponiamo $ e^(ct)$ con le formule di eulero in sen e cos
Risposte
In realtà quando risolvi equazioni differenziali LINEARI risolvi prima l'omogenea associata, poi cerchi UN INTEGRALE PARTICOLARE dell'equazione originaria.
Bene, COME cercarlo tale integrale in generale dipende dall'equazione.
E' noto che se il POLINOMIO ASSOCIATO dell'equazione del secondo ordine ha radici complesse allora l'equazione ha un'integrale particolare COMBINAZIONE LINEARE di seno e coseno per un'esponenziale.
Precisamente è, se $a + ib $ è la radice del polinomio associato allora se CERCO una combinazione lineare $ e^ax (lambda cos(bx) + mu sin (bx) $ con $lambda,mu$ incognite, IMPONENDO che tale combinazione lineare SODDISFA l'equazione differenziale, SICURAMENTE trovo dei $lambda,mu$ soluzioni.
Così ottengo l'integrale particolare richiesto.
La dimostrazione di tale fatto (che sicuramente esistono soluzioni) in genere è omessa ai corsi di Analisi II.
Spero di esserti stato utile ciao
Bene, COME cercarlo tale integrale in generale dipende dall'equazione.
E' noto che se il POLINOMIO ASSOCIATO dell'equazione del secondo ordine ha radici complesse allora l'equazione ha un'integrale particolare COMBINAZIONE LINEARE di seno e coseno per un'esponenziale.
Precisamente è, se $a + ib $ è la radice del polinomio associato allora se CERCO una combinazione lineare $ e^ax (lambda cos(bx) + mu sin (bx) $ con $lambda,mu$ incognite, IMPONENDO che tale combinazione lineare SODDISFA l'equazione differenziale, SICURAMENTE trovo dei $lambda,mu$ soluzioni.
Così ottengo l'integrale particolare richiesto.
La dimostrazione di tale fatto (che sicuramente esistono soluzioni) in genere è omessa ai corsi di Analisi II.
Spero di esserti stato utile ciao
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