Equazioni differenziali del primo ordine e problema di Cauchy
Ciao a tutti! Sto facendo alcuni esercizi sulle differenziali e sul problema di Cauchy e vi sono alcune cose che non mi tornano, quindi speravo che qualcuno potesse darmi una mano! 
Principalmente si tratta, una volta trovata la soluzione, di studiare dove essa è definita, oppure alcuni cambi di variabile che non ho capito(in generale il meccanismo con cui alcuni di essi vengono applicati). Sul come trovare la soluzione non ho problemi (per ora
) quindi per brevità(e un po' di sanità mentale) nei quattro esercizi che vi illustro ho saltato tutti gli algoritmi e i vari integrali. Se a qualcuno dovessero servire fatemi sapere che li scrivo.
1)determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(y' = y(y+1)x),(y(0)=a):}$
svolgendo i conti trovo che la soluzione è
$y(x) = (exp(((x^2))/2))/(1 + 1/a - (exp(((x^2))/2))$
Devo quindi trovare l'intervallo $I$ di definizione della soluzione contenente $x = 0$, chiaramente. Ora partono i dubbi: quando mi viene richiesto l'intervallo di definizione devo semplicemente vedere qual'è l'intervallo su cui è definita la mia y(x) no?(scusate la banalità della domanda, a me sembra ovvio che sia così, ma per sicurezza è sempre meglio chiedere). Se la risposta è sì, in questo caso mi viene da dire che la funzione non è definita dove il denominatore si annulla, quindi distinguo i due casi $1 + 1/a < 1$ e $1 + 1/a > 1$, ovvero
$a< 0$) ho che il denominatore non si annulla mai, poiché la funzione $exp(((x^2))/2)$ assume tutti i valori di $ [1, +infty)$. quindi $I= RR$
$a> 0$ in questo caso trovo che che il denominatore si annulla per
$x={-sqrt(2log(1 +1/a)),sqrt(2log(1 +1/a))}$
quindi il mio insieme di definizione dovrebbe essere
$I=RR - {-sqrt(2log(1 +1/a)),sqrt(2log(1 +1/a))}$
giusto? Lo chiedo perché sul mio libro indica invece che
$I=(-sqrt(2log(1 +1/a)),sqrt(2log(1 +1/a)))$
e non capisco il perché. É dovuto al fatto che devo prendere necessariamente un intervallo contenente il mio $x_0$(e quindi un insieme connesso, cosa che l'intervallo di definizione da me trovato non è)? Se sì(ma anche se la ragione è un'altra) qualcuno potrebbe spiegarmi il perché?
2) verificare che $\bar{y}(x) = logx$ sia su $(0, + infty)$ soluzione dell' eq. differenziale
$y' - y^2 + 2y logx - log^2x - 1/x = 0 $
cercare poi la soluzione $y=y(x)$ dell'equazione t.c. $y(1) = a \in RR$
Per la prima richiesta sostituisco semplicemente la mia funzione all'interno dell'eq. differenziale e vedo che la verifica(e risolve il problema di Cauchy per $a = 0$). Per la seconda richiesta, noto che sto lavorando su un'equazione di Riccati, e quindi, sapendo che $\bar{y}(x) = logx$ è soluzione, applico il cambio
$y(x) = logx + 1/(z(x))$
$y'(x) = 1/x - (z'(x))/(z^2(x))$
e sostituendo ottengo
$z'(x) = -1$
da cui
$z(x) = -x + c$
con $c \in RR$. Ora ho un problema nel tornare alla forma in $y$. Sul libro mi dice che
$y(x) = log x + 1/(1 + 1/a -x)$
ma onestamente non capisco come abbia fatto a trovare questo risultato. Qualcuno potrebbe mostrarmi come fare? Un'altra domanda: in generale per tornare da un cambio di variabile in un problema di Cauchy, bisogna fare attenzione a qualcosa di particolare rispetto ai soliti cambi di variabile( per chiarire: c'è qualche legame nei conti con le condizioni su $y(x_0) = y_0$?)
per finire l'esercizio, mi viene detto che la soluzione è definita su $(0,+ infty)$ se e solo se $ -1 <= a <= 0$ e non capisco perché visto che basta che $x$ assuma il valore $1+1/a$ per annullare il denominatore, no? L'unica cosa che mi viene in mente è che la quantità $1+1/a$ è sempre negativa per ipotesi, il che verificherebbe l'affermazione, ma non sono sicuro.
3) determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(xyy' = 1-x^2),(y(1)=1):}$
anche qui, facendo i calcoli trovo che la soluzione è data da
$y(x) = sqrt(2logx - x^2 +2)$
e mi viene richiesto l'intervallo di definizione. La domanda questa volta è abbastanza semplice: l'unico modo che ho per determinarlo è per via analitica giusto? Quindi vedo che minimo minimo ho che deve essere $x>0$, e poi che $f(x) = 2logx - x^2 +2 >0$.
Facendo velocemente il grafico della funzione $f(x)$ per $x$ positivi vedo che all'infinito la funzione va a meno infinito, mentre per valori maggiori di un certo $a < 1$ la mia funzione è positiva(in quanto $f$ è continua sul suo insieme di definizione e $f(1) = 1$, il che mi fa dedurre che esiste un intorno di $x_0 =1$ in cui la mia funzione è positiva). Visto che la funzione va a meno infinito, in un certo punto $b >1$ avrò che la funzione si annulla, quindi l'insieme di definizione è $I=(a,b)$ . Volevo sapere se l'analisi svolta per risolvere la disequazione vi sembra corretta(e inoltre se mi bastava, una volta notato che l'insieme di definizione non era definibile con dei punti saldi, utilizzare a cannone il teorema di esistenza e unicità locale per la soluzione del problema di Cauchy e dire che vi era un intorno $(a, b)$ di $x_0 = 1$ in cui la mia funzione era definita).
4)determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(y' + (sinx)(y- y^3)= 0),(y(0)=b):}$
quindi Bernoulli. Applico il cambio
$z(x) = 1/(y^2(x))$
e trovo $z(x) = 1 + (1/(b^2) -1)e^(2-2cosx)$
da qui devo tornare indietro, ed ecco che scattano i problemi. Sul mio libro mi dice che
$y(x) = (sgn(b))/sqrt(z(x)) = (e^(cosx - 1) sgn(b))/sqrt(1/(b^2) -1 + e^(-2 + 2cosx))$
però non capisco il perchè di queste due uguaglianze: nella prima perchè viene messo $sgn(b)$ ? non dovrebbe essere semplicemente $y(x) = 1/sqrt(z(x))$? Per quanto riguarda la seconda uguaglianza ho fatto un sacco di tentativi per ricondurmi nella forma a destra ma non ci sono riuscito.
Ringrazio tutti in anticipo e scusate per la lunghezza del post e la quantità infinita di domande
Principalmente si tratta, una volta trovata la soluzione, di studiare dove essa è definita, oppure alcuni cambi di variabile che non ho capito(in generale il meccanismo con cui alcuni di essi vengono applicati). Sul come trovare la soluzione non ho problemi (per ora
) quindi per brevità(e un po' di sanità mentale) nei quattro esercizi che vi illustro ho saltato tutti gli algoritmi e i vari integrali. Se a qualcuno dovessero servire fatemi sapere che li scrivo.1)determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(y' = y(y+1)x),(y(0)=a):}$
svolgendo i conti trovo che la soluzione è
$y(x) = (exp(((x^2))/2))/(1 + 1/a - (exp(((x^2))/2))$
Devo quindi trovare l'intervallo $I$ di definizione della soluzione contenente $x = 0$, chiaramente. Ora partono i dubbi: quando mi viene richiesto l'intervallo di definizione devo semplicemente vedere qual'è l'intervallo su cui è definita la mia y(x) no?(scusate la banalità della domanda, a me sembra ovvio che sia così, ma per sicurezza è sempre meglio chiedere). Se la risposta è sì, in questo caso mi viene da dire che la funzione non è definita dove il denominatore si annulla, quindi distinguo i due casi $1 + 1/a < 1$ e $1 + 1/a > 1$, ovvero
$a< 0$) ho che il denominatore non si annulla mai, poiché la funzione $exp(((x^2))/2)$ assume tutti i valori di $ [1, +infty)$. quindi $I= RR$
$a> 0$ in questo caso trovo che che il denominatore si annulla per
$x={-sqrt(2log(1 +1/a)),sqrt(2log(1 +1/a))}$
quindi il mio insieme di definizione dovrebbe essere
$I=RR - {-sqrt(2log(1 +1/a)),sqrt(2log(1 +1/a))}$
giusto? Lo chiedo perché sul mio libro indica invece che
$I=(-sqrt(2log(1 +1/a)),sqrt(2log(1 +1/a)))$
e non capisco il perché. É dovuto al fatto che devo prendere necessariamente un intervallo contenente il mio $x_0$(e quindi un insieme connesso, cosa che l'intervallo di definizione da me trovato non è)? Se sì(ma anche se la ragione è un'altra) qualcuno potrebbe spiegarmi il perché?
2) verificare che $\bar{y}(x) = logx$ sia su $(0, + infty)$ soluzione dell' eq. differenziale
$y' - y^2 + 2y logx - log^2x - 1/x = 0 $
cercare poi la soluzione $y=y(x)$ dell'equazione t.c. $y(1) = a \in RR$
Per la prima richiesta sostituisco semplicemente la mia funzione all'interno dell'eq. differenziale e vedo che la verifica(e risolve il problema di Cauchy per $a = 0$). Per la seconda richiesta, noto che sto lavorando su un'equazione di Riccati, e quindi, sapendo che $\bar{y}(x) = logx$ è soluzione, applico il cambio
$y(x) = logx + 1/(z(x))$
$y'(x) = 1/x - (z'(x))/(z^2(x))$
e sostituendo ottengo
$z'(x) = -1$
da cui
$z(x) = -x + c$
con $c \in RR$. Ora ho un problema nel tornare alla forma in $y$. Sul libro mi dice che
$y(x) = log x + 1/(1 + 1/a -x)$
ma onestamente non capisco come abbia fatto a trovare questo risultato. Qualcuno potrebbe mostrarmi come fare? Un'altra domanda: in generale per tornare da un cambio di variabile in un problema di Cauchy, bisogna fare attenzione a qualcosa di particolare rispetto ai soliti cambi di variabile( per chiarire: c'è qualche legame nei conti con le condizioni su $y(x_0) = y_0$?)
per finire l'esercizio, mi viene detto che la soluzione è definita su $(0,+ infty)$ se e solo se $ -1 <= a <= 0$ e non capisco perché visto che basta che $x$ assuma il valore $1+1/a$ per annullare il denominatore, no? L'unica cosa che mi viene in mente è che la quantità $1+1/a$ è sempre negativa per ipotesi, il che verificherebbe l'affermazione, ma non sono sicuro.
3) determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(xyy' = 1-x^2),(y(1)=1):}$
anche qui, facendo i calcoli trovo che la soluzione è data da
$y(x) = sqrt(2logx - x^2 +2)$
e mi viene richiesto l'intervallo di definizione. La domanda questa volta è abbastanza semplice: l'unico modo che ho per determinarlo è per via analitica giusto? Quindi vedo che minimo minimo ho che deve essere $x>0$, e poi che $f(x) = 2logx - x^2 +2 >0$.
Facendo velocemente il grafico della funzione $f(x)$ per $x$ positivi vedo che all'infinito la funzione va a meno infinito, mentre per valori maggiori di un certo $a < 1$ la mia funzione è positiva(in quanto $f$ è continua sul suo insieme di definizione e $f(1) = 1$, il che mi fa dedurre che esiste un intorno di $x_0 =1$ in cui la mia funzione è positiva). Visto che la funzione va a meno infinito, in un certo punto $b >1$ avrò che la funzione si annulla, quindi l'insieme di definizione è $I=(a,b)$ . Volevo sapere se l'analisi svolta per risolvere la disequazione vi sembra corretta(e inoltre se mi bastava, una volta notato che l'insieme di definizione non era definibile con dei punti saldi, utilizzare a cannone il teorema di esistenza e unicità locale per la soluzione del problema di Cauchy e dire che vi era un intorno $(a, b)$ di $x_0 = 1$ in cui la mia funzione era definita).
4)determinare la soluzione del problema di Cauchy
$\{(y' + (sinx)(y- y^3)= 0),(y(0)=b):}$
quindi Bernoulli. Applico il cambio
$z(x) = 1/(y^2(x))$
e trovo $z(x) = 1 + (1/(b^2) -1)e^(2-2cosx)$
da qui devo tornare indietro, ed ecco che scattano i problemi. Sul mio libro mi dice che
$y(x) = (sgn(b))/sqrt(z(x)) = (e^(cosx - 1) sgn(b))/sqrt(1/(b^2) -1 + e^(-2 + 2cosx))$
però non capisco il perchè di queste due uguaglianze: nella prima perchè viene messo $sgn(b)$ ? non dovrebbe essere semplicemente $y(x) = 1/sqrt(z(x))$? Per quanto riguarda la seconda uguaglianza ho fatto un sacco di tentativi per ricondurmi nella forma a destra ma non ci sono riuscito.
Ringrazio tutti in anticipo e scusate per la lunghezza del post e la quantità infinita di domande
Risposte
Partiamo dal primo: il denominatore si annulla in due punti che sono $-sqrt(2log(1+1/a))$ e $sqrt(2log(1+1/a))$, quindi la funzione è definita su tutto $RR$ meno questi due punti (si tratta di escludere solo i punti e non un intervallo). Siccome a noi interessa l'intervallo che contiene l'origine la soluzione è quella indicata dal libro.
grazie mille walter89!
Nel secondo esercizio:
per trovare
$ y(x)= log(x) + 1/(1+1/a-x) $ (1)
sostituisci
$ z(x)= -x+c $
in
$ y(x)= log(x) + 1/z(x) $
e poi calcoli c imponendo la condizione iniziale $ y(1)= a $.
Poi se la soluzione (1) deve essere definita su $ (0,+oo) $ allora x non deve mai assumere il valore
$ 1+1/a $ (2)
perche' altrimenti il denominatore di y(x) si annulla e affinche' questo non accada per ogni x>0 la quantita' (2) deve essere <0.
Se puo' convincerti meglio che cosi' $ 1+1/a-x != 0 $, osserva che per x>0 et (2)<0 questa quantita' resta sempre negativa.
Viceversa se (2) <0, allora la soluzione e' def su $(0,+oo) $ perche' cosi' nella (1) l'argomento del logaritmo e' maggiore di 0 come necessario e $ 1+1/a-x != 0 $ .
per trovare
$ y(x)= log(x) + 1/(1+1/a-x) $ (1)
sostituisci
$ z(x)= -x+c $
in
$ y(x)= log(x) + 1/z(x) $
e poi calcoli c imponendo la condizione iniziale $ y(1)= a $.
Poi se la soluzione (1) deve essere definita su $ (0,+oo) $ allora x non deve mai assumere il valore
$ 1+1/a $ (2)
perche' altrimenti il denominatore di y(x) si annulla e affinche' questo non accada per ogni x>0 la quantita' (2) deve essere <0.
Se puo' convincerti meglio che cosi' $ 1+1/a-x != 0 $, osserva che per x>0 et (2)<0 questa quantita' resta sempre negativa.
Viceversa se (2) <0, allora la soluzione e' def su $(0,+oo) $ perche' cosi' nella (1) l'argomento del logaritmo e' maggiore di 0 come necessario e $ 1+1/a-x != 0 $ .
Ehm, nel messaggio precedente avevo invertito i segni nell'espressione di z(x), ora ho corretto l'errore.
Comunque quando scrivi $ y(x)= log(x) + 1/(z(x)) $ (1) non fai un cambio di variabile ma supponi che la soluzione generale dell'equazione differenziale abbia quella forma dove z(x) e' una funzione incognita da determinare sostituendo y(x) nell'equazione differenziale. Quando trovi z(x), y(x) potra' essere scritta esplicitamente reinserendo l'espressione di z(x) in (1) e infine si risolve il problema di Cauchy imponendo la condizione iniziale.
Comunque quando scrivi $ y(x)= log(x) + 1/(z(x)) $ (1) non fai un cambio di variabile ma supponi che la soluzione generale dell'equazione differenziale abbia quella forma dove z(x) e' una funzione incognita da determinare sostituendo y(x) nell'equazione differenziale. Quando trovi z(x), y(x) potra' essere scritta esplicitamente reinserendo l'espressione di z(x) in (1) e infine si risolve il problema di Cauchy imponendo la condizione iniziale.
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