Equazioni Differenziali del Primo ordine

[anliv]

Salve a tutti, sono nuova in questo forum
Ho effettuato una ricerca prima di aprire un nuovo argomento, ma non ho trovato risposte (spero di non essermi sbagliata!)
Sono alla (disperata!) ricerca della dimostrazione dell'Integrale generale di eq. lineari del I ordine.
Confido in un vostro aiuto!
Grazie in anticipo!

[Noisemaker]

Si dice equazione differenziale del primo ordine un'equazione differenziale della forma
\[y'+A(x)y=B(x),\tag{1}\]
dove $A,B$ sono funzoni definite e continue su un itervallo $I$. Il termine che contiene la funzione incognita $y$ e la sua derivata $y'$ è una combinazione lineare di $y$ e $y'.$ consideriamo inizialmente il caso particolare in cui il secondo membro $B(x)$ sia identicamente nullo:
\[y'+A(x)y=0,\tag{2};\]
tale equazione è detta equazione omogenea associata alla $(1).$ Se la $y$ non è mai nulla su $I,$ l'equazione $(2)$ è equivalente all'equazione
\[\frac{y'}{y}=-A(x) ,\tag{3} \]
in altre parole, ogni soluzione della $(2)$ che non si annulla mai soddisfa anche la $(3)$ e viceversa; se supponiamo che la $y$ sia anche positiva, il quoziente $y'$/$y$ è la derivata di $\ln y$ e dunque l'equazione $(3)$ diventa
\[\int \frac{y'}{y}\,\,dy=\int-A(x) dx ,\tag{4} \]
ovvero
\[y=e^{-P(x)},\qquad\mbox{dove}\qquad P(x)=\int A(x) dx+C.\tag{5} \]
Abbiamo dunque trovato tutte le soluzioni positive della $(2);$ per mezzo di questo risultato è ora facile descrivere tutte le soluzioni:
TEOREMA
Sia $A(x)$ una funzione continua su un intervallo $I$ aperto. Siano dati un qualsiasi punto $x_0$ in $I$ e un arbitrario $y_0\in\RR.$ Allora esiste una e una sola funzione $y=y(x)$ soddisfacente il problema di Cauchy
\[\begin{cases}y'+A(x)y=0\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}.\tag{6}\]
Questa funzione è data dalla formula
\[y(x)=y_0e^{-P(x)},\qquad\mbox{dove}\qquad P(x)=\int_{x_0}^x A(t) dt+C\tag{7}\]
Dimostrazione

Sia $y$ la funzione definita in $(6).$ Essendo $P(x_0)=0$ è anche $y(x_0)=y_0e^0=y_0.$ Derivando si trova che $y$ soddisfa l'equazione differenziale $(6),$ ovvero che $y$ è una soluzione del problema di Cauchy. Dobbiamo ora dimostrare che è l'unica soluzione.Sia $z$ una qualsiasi soluzione. Dobbiamo dimostrare che $z(x) =y_0e^{-P(x)}$ o anche che $z(x)e^{P(x)}=y_0.$ Consideriamo la funzione $h(x)=z(x)e^{P(x)},$ la cui derivata è
\[h'(x)=z'(x)e^{P(x)}+z(x)e^{P(x)}P'(x)=e^{P(x)}\left[z'(x)+P(x)z(x)\right].\tag{8}\]
Poichè $z$ soddisfa il problema di Cauchy $(6),$ avremo che
\[z'(x)+A(x)z(x)=0,\qquad\forall x\in I,\]
e dunque $h'(x)=0$ per tutti gli $x\in I.$ Ma ciò significa che $h$ è costante su $I.$ Allora abbiamo anche $$h(x)=h(a)=z(a)e^{P(x_0)}=z(a)=y_0.$$
Questo completa la dimostrazione in quanto $z(x)e^{P(x)}=y_0$ cioè $z(x)=y_0e^{-P(x)},$ il che significa che $z=y.$

L'ultima parte della dimostrazione suggerisce un metododo per risolvere l'equazione differenzaile non omogenea $(1):$ supponiamo che $z$ sia una qualunque funzione soddisfacente la $(1)$ e poniamo $h(x)=z(x)e^{P(x)},$ dove al solito $P(x)=\int_{x_0}^x A(t) dt;$ l'equazione $(8)$ della dimostrazione resta vera anche in questo caso, ma poichè $z$ sodddisfa la $(1)$ la formula per $h'(x)$ ci fornisce
\[h'(x)=e^{P(x)}B(x);\]
per il teorema fondamentale del calcolo integrale abbiamo:
\[h (x)=h(a)+\int_{x_0}^x e^{P(t)}B(t) dt;\]
ne segue che essendo $h(x_0)=z(x_0),$ ogni soluzione $z$ della $(1)$è della forma
\[z(x)=e^{-Px}h(x)=z(a)e^{-P(x)}+e^{-P(x)}\int_{x_0}^x B(t) e^{P(t)}dt.\tag{9}\]
Eseguendo direttamente la derivazione nella $(9)$ è facile verificare che viceversa ogni $z$ di questa forma è soluzione della $(1),$ cosicchè abbiamo trovato tutte le soluzioni. Dunque formalizzando:
TEOREMA
Siano $A(x),B(x)$ due funzioni continue su un intervallo $I$ aperto. Siano dati un qualsiasi punto $x_0$ in $i$ e un arbitrario $y_0\in\RR.$ Allora esiste una e una sola funzione $y=y(x)$ soddisfacente il problema di Cauchy
\[\begin{cases}y'+A(x)y=B(x)\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}. \]
Questa funzione è data dalla formula
\[y(x)= e^{-P(x)}\left(y_0+\int_{x_0}^{x}B(t) e^{P(t)}\,\,dt\right),\qquad\mbox{dove}\qquad P(x)=\int_{x_0}^x A(t) dt+C.\]

[anliv]

Grazie Mille! Perfetta spiegazione!
Grazie!

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]

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Bad Noisemaker! [/xdom]