Equazioni differenziali del 1 ordine
Esercizio: Un ispettore di polizia viene chiamato sulla scena del delitto dove constata che il cadavere è ancora tiepido. Egli allora misura la temperatura della stanza, la temperatura della salma e dopo un'ora, ancora la temperatura della salma. Dal che deduce l'ora della morte.
Come si imposta un esercizio del genere? Come si ragiona?
Grazie in anticipo.
Come si imposta un esercizio del genere? Come si ragiona?
Grazie in anticipo.
Risposte
la velocità di raffreddamento è proporzionale alla differenza delle temperature
detta $T$ la temperatura del corpo e $T_S$ quella della stanza,si ha
$frac{dT}{dt}=k(T-T_S)$
cioè
$frac{dT}{T-T_S}=kdt$
integrando,
$ln(T-T_S)=kt+lnc$
posto t=0 l'istante del decesso e $T_0$ la temperatura del poveraccio a quell'istante,si ha $c=T_0-T_S$,da cui
$T-T_S=(T_0-T_S)e^(kt)$
il nostro obiettivo è determinare l'istante t in cui si è fatto il primo rilevamento
posto $Deltat=1h$,chiamiamo $T_1$ la temperatura all'istante $t$ e $T_2$ la temperatura all'istante $t+Deltat$
l'istante t si ricava risolvendo il sistema,nelle incognite $k,t$,
$T_1-T_S=(T_0-T_S)e^(kt)$
$T_2-T_S=(T_0-T_S)e^(k(t+Deltat))$
detta $T$ la temperatura del corpo e $T_S$ quella della stanza,si ha
$frac{dT}{dt}=k(T-T_S)$
cioè
$frac{dT}{T-T_S}=kdt$
integrando,
$ln(T-T_S)=kt+lnc$
posto t=0 l'istante del decesso e $T_0$ la temperatura del poveraccio a quell'istante,si ha $c=T_0-T_S$,da cui
$T-T_S=(T_0-T_S)e^(kt)$
il nostro obiettivo è determinare l'istante t in cui si è fatto il primo rilevamento
posto $Deltat=1h$,chiamiamo $T_1$ la temperatura all'istante $t$ e $T_2$ la temperatura all'istante $t+Deltat$
l'istante t si ricava risolvendo il sistema,nelle incognite $k,t$,
$T_1-T_S=(T_0-T_S)e^(kt)$
$T_2-T_S=(T_0-T_S)e^(k(t+Deltat))$
Grazie della risposta.
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